Студопедия — Примеры. 1) Множество векторов в с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры. 1) Множество векторов в с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см






1) Множество векторов в с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см. свойства скалярного произведения) образует евклидово пространство.

2) Множество непрерывных на отрезке функций образует евклидово пространство, если скалярное произведение задается формулой:

Свойство 1) скалярного произведения очевидно, 2) и 3) следуют из линейности интеграла, 4) следует из того, что от неотрицательной функции неотрицателен и равен нулю только если .

3) Пространство упорядоченных вещественных чисел образует евклидово пространство со скалярным произведением, задаваемым следующей формулой: если и из , то

(1)

Свойство 1) − очевидно, свойства 2) и 3) следуют из определения сложения векторов в и умножения на число, т.е.

;

.

Свойство 4) следует из того, что и равно нулю лишь тогда когда , т.е. .

4) Пусть − матрица над ипусть – симметричная, т.е. . Для любого используем для построения выражения . Такое выражение называется квадратичной формой. Будем предполагать, что такая форма положительно определена, т.е. она больше нуля и равна нулю лишь если .

Такую матрицу можно использовать для задания скалярного произведения в следующим образом: ,

. (2)

Свойство 1) следует из симметричности матрицы , 2) и 3) − из свойств вещественных чисел, 4) − из положительной определенности соответствующей квадратичной формы.

Замечание. Формула (1) Þ из (2) при − единичная матрица.

Теорема 1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых элементов евклидового пространства справедливо неравенство:

. (3)

Неравенство (3) называется неравенством Коши–Буняковского.

Доказательство:По аксиоме 4) евклидова пространства справедливо

//так как квадратный трехчлен по неотрицателен дискриминант //

Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если определено правило, по которому ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое , удовлетворяющее следующим трем аксиомам:

1) .

2) .

3) справедливо (неравенство треугольника или неравенство Минковского).

Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму элемента определить равенством

Доказательство: Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно,

. ■







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 439. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...

Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом опреде­ления суточного расхода энергии...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия