Примеры. 1) Множество векторов в с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см1) Множество векторов в с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см. свойства скалярного произведения) образует евклидово пространство. 2) Множество непрерывных на отрезке функций образует евклидово пространство, если скалярное произведение задается формулой: Свойство 1) скалярного произведения очевидно, 2) и 3) следуют из линейности интеграла, 4) следует из того, что от неотрицательной функции неотрицателен и равен нулю только если . 3) Пространство упорядоченных вещественных чисел образует евклидово пространство со скалярным произведением, задаваемым следующей формулой: если и из , то (1) Свойство 1) − очевидно, свойства 2) и 3) следуют из определения сложения векторов в и умножения на число, т.е.
; . Свойство 4) следует из того, что и равно нулю лишь тогда когда , т.е. . 4) Пусть − матрица над ипусть – симметричная, т.е. . Для любого используем для построения выражения . Такое выражение называется квадратичной формой. Будем предполагать, что такая форма положительно определена, т.е. она больше нуля и равна нулю лишь если . Такую матрицу можно использовать для задания скалярного произведения в следующим образом: , . (2) Свойство 1) следует из симметричности матрицы , 2) и 3) − из свойств вещественных чисел, 4) − из положительной определенности соответствующей квадратичной формы. Замечание. Формула (1) Þ из (2) при − единичная матрица. Теорема 1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых элементов евклидового пространства справедливо неравенство: . (3) Неравенство (3) называется неравенством Коши–Буняковского. Доказательство:По аксиоме 4) евклидова пространства справедливо //так как квадратный трехчлен по неотрицателен дискриминант // ■ Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если определено правило, по которому ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое , удовлетворяющее следующим трем аксиомам: 1) . 2) . 3) справедливо (неравенство треугольника или неравенство Минковского). Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму элемента определить равенством Доказательство: Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно, . ■
|