Ре­ше­ние. Со­еди­ним от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный от­ре­зок — ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния с ка­са­тель­ной

Задания B7. Окружность, круг и их элементы

1. К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если AB = 12 см, AO = 13 см.

 

 

Со­еди­ним от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный от­ре­зок — ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния с ка­са­тель­ной, след­стви­ем чего яв­ля­ет­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ность OB и AB. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та OB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB: по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, катет равен 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

2. Цен­траль­ный угол AOB равен 60°. Най­ди­те длину хорды AB, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

 

 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB: он рав­но­бед­рен­ный, т. к. со­сто­ит из двух от­рез­ков, рав­ных ра­ди­у­су. Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны. Обо­зна­чим угол BAO бук­вой , тогда , где . Тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го все углы равны, — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник; зна­чит, AB = 5.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

3. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

 

 

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB: он рав­но­бед­рен­ный, т. к. со­сто­ит из двух от­рез­ков, рав­ных ра­ди­у­су.

Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны. Обо­зна­чим угол AOB бук­вой , тогда , где . Тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го все углы равны, — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник; зна­чит, ра­ди­ус равен 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

4. В окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны диа­мет­ры AD и BC, угол OAB равен 70°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OCD.