Линейные операции над векторами.

Разум интерпретирует информацию с помощью набора устоявшихся обозначений.

Душа не думает и не говорит, а чувствует и знает.

Разум способен создать только относительно новую версию дома из старых кубиков.

Принципиально новые открытия приходят из не­реализованных секторов.

Душа служит посредником между принципиаль­но новой информацией и разумом.

Душа воспринимает нереализованную информа­цию как знания без интерпретаций.

Если разуму удается интерпретировать инфор­мацию души, рождается открытие.

Разум способен однозначно определить состоя­ние душевного комфорта.

Приучите себя обращать внимание на душев­ный комфорт.

Отказавшись от важности, вы получаете сво­боду выбора своей судьбы.

Свобода выбора позволяет не просить, не тре­бовать и не бороться, а пойти и взять.

Структура информации организована в цепоч­ки причинно-следственных связей.

Причинно-следственные связи порождают те­чение вариантов.

Пути наименьшего сопротивления организова­ны в отдельные потоки.

Потоки в течении вариантов уже содержат в себе решения всех проблем.

Внутренняя и внешняя важность выбрасывает разум из оптимального потока.

К водопаду вас приводит разум, а не потоки в течении вариантов.

Все делается гораздо проще, чем кажется. От­дайтесь этой простоте.

Срабатывает не сама примета, а ваше отношение к ней.

Путеводные знаки указывают на возможный по­ворот в течении вариантов.

Линии жизни качественно отличаются друг от друга.

Знаки настораживают, потому что появляют­ся при переходе на другую линию.

Знаки отличаются тем, что создают ощущение, как будто что-то не так.

Спонтанные фразы можно воспринимать как ру­ководство к действию.

Состояние душевного дискомфорта является яс­ным знаком.

Если вам приходится себя уговаривать, значит, душа говорит «нет».

Если есть возможность отказаться от диском­фортного решения — отказывайтесь.

Необходимо ослабить хватку и принять непред­виденное событие в свой сценарий.

Принять возможность отклонения от сценария мешает важность.

Разум стремится управлять не своим движени­ем по течению, а самим течением.

Перенесите центр тяжести с контроля на на­блюдение.

Отказавшись от контроля, вы получите подлин­ный контроль над ситуацией.

Если вы будете двигаться по течению вариан­тов, мир пойдет к вам навстречу.

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R.

Изучение аналитической геометрии существенно опирается на понятие геометрического вектора. В этой главе рассматриваются операции над векторами, вводятся такие важные понятия как линейная независимость, ранг и базис системы векторов.

 

Геометрические векторы.

Основные понятия.

Определение. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок.

Если точки и соответственно начало и конец направленного отрезка, то такой вектор обозначают .

Начало вектора называют точкой приложения вектора.

Длину вектора называют модулем вектора и обозначают . Очевидно, .

Определение. Вектор, модуль которого равен единице, называют единичным вектором.

Определение. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

В этом случае пишут . Если векторы и одинаково направлены, то пишут , a если векторы имеют противоположное направление, то .

Определение. Единичный вектор, одинаково направленный с вектором , называют ортом вектора и обозначают его .

Вектор несет информацию о направлении вектора , а модуль - о длине этого вектора. В дальнейшем будет показано, что .

Определение. Вектор называется нулевым, если начало и конец этого вектора совпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Определение. Векторы и называются равными, тогда и только тогда когда они имеют равные модули и одинаковые направления, т.е.

В математике, как правило, изучают свободные векторы. Эти векторы определены с точностью до точки приложения.

Линейные операции над векторами.

Линейными операциями над векторами принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на вещественное число.

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Правило сложения двух векторов, основанное на этом определении, обычно называют «правило треугольника».

Правило сложения векторов обладает теми же самыми свойствами, что и правило сложения вещественных чисел:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4) для каждого вектора существует противоположный ему вектор - такой, что .

►Для доказательства свойства 1 приложим векторы и к общему началу (рис. 2.1) и рассмотрим

Рис. 2.1 параллелограмм , где

, .Тогда ,

 

, откуда .◄

►Для доказательства свойства 2 приложим начало вектора к концу вектора и начало вектора к концу вектора (рис.2.2).

С одной стороны ,
с другой - , откуда .◄

Из свойства 2 следует правило построения вектора суммы любого числа слагаемых.

Если приложить начало каждого последующего вектора к концу предыдущего вектора , то вектор, идущий из

Рис. 2.2 начала вектора к концу вектора является вектором суммы («правило многоугольника»). При «правило многоугольника» становится «правилом треугольника».

Определение. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор (рис.2.3).

Замечание. Разность векторов и может быть определена и как сумма векторов и , т.е. .

Рис. 2.3 Определение. Произведением

вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное вектору , если .

Докажем, что .

►Действительно, , , поэтому .◄

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1) (дистрибутивность);

2) (дистрибутивность);

3) .

►Для доказательства свойства 1 приложим векторы , , и к общему началу (рис.2.4) и построим параллелограммы

и , диагональ

Рис. 2.4 равна , а диагональ равна . Из подобия треугольников и следует .◄

Другие свойства очевидны.