Примеры евклидовых пространствВ данном пункте приведены примеры наиболее часто встречающихся евклидовых пространств. Заметим, что в одном и том же линейном пространстве скалярное произведение можно ввести различными способами. Рассмотрим различные способы задания скалярного произведения в двух линейных пространствах и . Рассмотрим линейное пространство . Его элементами являются вектор-столбцы . Скалярное произведение в нем можно задать двумя способами. Первый способ (задание скалярного произведения стандартным образом): . Покажем, что при таком задании скалярного произведения в выполняются аксиомы евклидова пространства. Действительно, при всех , имеем: , , , , причем . Второй способ (задание скалярного произведения в виде симметрической билинейной формы): , где симметрическая (, ) положительно определенная матрица -го порядка. Замечание 3.1. Доказательство того факта, что скалярное произведение, заданное в виде симметрической билинейной формы, удовлетворяет всем аксиомам евклидова пространства, можно посмотреть в п. 6.7. Рассмотрим линейное пространство . Его элементами являются многочлены относительно переменной степеней, не превосходящих натуральное число : , . Первый способ задания скалярного произведения: . Второй способ задания скалярного произведения: где попарно различные действительные числа. Можно показать, что в каждом случае выполняются все аксиомы евклидова пространства.
|