Дифференцируемость сложной функцииПусть функция дифференцируема по переменным х и у, а функции и - дифференцируемы по переменным u,v. Тогда функция дифференцируема по u и v, причем ; Доказательство. Было введено , (это следует из дифференцируемости функции ) (по условию и - дифференцируемы). Тогда . б.м. Заметим, что , где - ограничено (т.к. ) и . Поэтому первый квадрат под знаком корня ограничен. По той же причине ограничен и второй квадрат. Тогда , где - ограниченная величина. Поэтому , где при . б.м. Таким образом, ч.т.д. б.м.в. Примеры: 1) , где
2) , где ; ; ; ; ; ; . 3) , . Найти . (Если подставим в данную функцию, тогда ). Самостоятельно написать формулы для нахождения частных производных 4) , где , 5) , где , 6) , где , , Дифференциал Пусть дана дифференцируемая функция , тогда по определению дифференцируемости . гл. часть Опр. Дифференциалом функции 2х переменных называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргументов или . х, у независимые переменные, тогда , . Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала I. Пусть , где х и у независимые переменные, тогда . II. Пусть , где , . Найдем в этом случае дифференциал .
Отсюда следует, что форма дифференциала не изменилась. Правила отыскания дифференциала 1) ;
2) ;
3) ;
|