Студопедия — Производная по направлению. Градиент
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Производная по направлению. Градиент






 

1. Производная по направлению

Рассмотрим функцию трех переменных u = f (x, y, z), определенную на множестве G. Пусть точка . Через точку М 0 проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М 1 и установим таким образом направление . Тогда l – прямая с выбранным направлением.

Пусть М (x, y, z) – переменная точка на прямой l. Через М 0 М обозначим ориентированную длину отрезка М 0 М, т.е. М 0 М =| М 0 М |, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М 1 лежат по одну сторону от точки М 0) и М 0 М =-| М 0 М |, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f в точке М 0 по направлению l.

Обозначается .

Замечание. Производная функции f (x) в точке х 0- это скорость изменения функции в точке х 0. Частная производная - скорость изменения функции в точке М 0 по направлению оси О х; частная производная - скорость при функции в точке М 0 по направлению оси О у, а - по направлению оси O z. Тогда - скорость изменения функции в точке М 0 по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси О х, то = . Аналогично для . Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.

Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u = f (x, y, z) дифференцируема в точке М 0, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М 0, и

, (1)

где - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).

Доказательство.

Проведём через точку М 0 прямую l возьмём на ней точку М , - ориентированная длина.

.

 
 

По условию функция f дифференцируема в точке М 0. Следовательно, её полное приращение можно записать в виде

, (2)

где при . Разделим (2) на :

. (3)

Пусть М ® М 0. Тогда . Тогда (проекции на оси координат) стремятся к 0. Следовательно, . Значит, правая часть равенства (3) при стремится к . Это означает, что существует и левой части: . Переходя в (3) к , получим (1).

Пример. . Найти производную в точке М 0(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А (1;2;3) и В (3;3;1).

(2,1,-2), , .

, ,

, ,

, ,

.

2. Градиент

Пусть функция u = f (x, y, z) определена и дифференцируема на множестве G.

Определение. Градиентом функции u = f (x, y, z) в точке М 0 называется вектор с координатами .

Обозначается или .

Итак, .

Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке М G определён вектор . В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.

Теорема. Если функция u = f (x, y, z) дифференцируема в точке М 0, то производная по направлению l в точке М 0 равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.

Доказательство.

Т.к. функция f дифференцируема в точке М 0, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем

,

.

Через обозначим единичный вектор направления l: .

Тогда (скалярное произведение).

Т.к. , где - угол между векторами и , то, учитывая, что а , получим . Следовательно, .

Свойства градиента

1. Производная в данной точке М 0 по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение

.

Доказательство.

.

Ясно, что имеет наибольшее значение, когда , т.е. когда φ;=0. Это означает, что направление совпадает с направлением .

Лекц.3 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).

3. В каждой точке М 0 области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.

4. ;

5. , где с = const;

6.

Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.

 







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 2820. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия