OpenGL ES для новичков

8.2.1. Метод безпосереднього інтегрування

Метод інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції (або виразу) і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводиться до одного або декількох табличних інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням.

При зведенні даного інтеграла до табличного часто використовуються наступні перетворення диференціала (операція «приведення під знак диференціала»):

, – число

, – число

,

,

,

,

.

Взагалі, , ця формула дуже часто використовується при обчисленні інтегралів.

Приклади:

1) (формула 2 таблиці інтегралів);

2) (формула 1);

3)

(формули 10 і 1);

4) (формула 13);

5)

(формули 1 і 6);

6)

;

7) (виведення формули 7);

8)

(виведення формули 11);

9)

(формула 1);

10) (формула 1);

11) (формула 14);

12)

(формули 1,9,3);

13)

.

Як бачимо, обчислення інтегралів іноді вимагає деякої винахідливості, так би мовити, «індивідуального підходу до кожної підінтегральної функції».

Відповідні навички отримуються в результаті значного числа вправ.

8.2.2. Метод інтегрування підстановкою (заміна змінної)

Інтегрування методом підстановки полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановкою). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або таким, що зводиться до нього (у разі «вдалої підстановки»). Загальних методів підбору підстановок не існує. Уміння правильно визначити підстановку отримується практикою.

Нехай потрібно обчислити інтеграл . Зробимо підстановку , де – функція, що має неперервну похідну.

Тоді і на підставі властивості інваріантності формули інтеграції невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою

(2.1)

Формула (2.1) також називається формулою заміни змінних в невизначеному інтегралі. Після знаходження інтеграла правої частини цієї рівності слід перейти від нової змінної інтеграції назад до змінної .

Іноді доцільно підбирати підстановку у вигляді , тоді , де . Іншими словами, формулу (2.1) можна застосовувати справа наліво.

Приклад 1. Знайти .

m Покладемо , тоді . Отже . l

Приклад 2. Знайти .

m Нехай , тоді , . Тому

.l

Приклад 3. Отримати формулу .

mПозначимо (підстановка Ейлера). Тоді , тобто .

Звідси

.

Отже

. l

Приклад 4. Знайти .

m Нехай . Тоді , . Маємо:

. l

Приклад 5. Знайти .

m Позначимо . Тоді , . Отже

.

Тут використовується формула 16 таблиці основних інтегралів. l

8.2.3. Метод інтегрування частинами

Нехай і - функція, що має неперервні похідні. Тоді . Проінтегрувавши цю рівність, отримаємо

або

Отримана формула називається формулою інтегрування частинами. Вона дає можливість звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла , який може виявитися істотно простішим за початковий.

Інтегрування частинами полягає в тому, що підінтегральний вираз заданого інтеграла представляється яким-небудь чином у вигляді добутку двох співмножників і (це, як правило, можна здійснити декількома способами); потім, після знаходження і використовується формула інтегрування частинами. Іноді цю формулу потрібно використовувати кілька разів.

Вкажемо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами.

1. Інтеграл вигляду ,
де - многочлен, – число. Зручно покласти , а за позначити решту співмножників.

2. Інтеграли вигляду . Зручно покласти , а за позначити решту співмножників.

3. Інтеграли вигляду , де і – числа. За можна прийняти функцію .

Приклад 6. Знайти .

m Нехай (можна покласти ). Отже, по формулі інтегрування частинами:

. l

Приклад 7. Знайти .

m Нехай . Тому

.l

Приклад 8. Знайти .

m Нехай . Тому

. (2.2)

Для обчислення інтеграла знову застосуємо метод інтегрування частинами: . Значить

. (2.3)

Тому (див. (2.2)) . l

Приклад 9. Знайти .

m Нехай . Тому

.l

8.3. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

8.3.1. Поняття про раціональні функції

Многочлен (деякі відомості довідкового характеру)

Функція вигляду

(3.1)

де — натуральне число, — постійні коефіцієнти, називається многочленом (або цілою раціональною функцією).

Число називається степенем многочлена.

Коренем многочлена (3.1) називається таке значення (взагалі кажучи, комплексне) змінної , при якому многочлен перетворюється в нуль, тобто .

Теоремa 8.3.1. Якщо є коренем многочлена , то многочлен ділиться без остачі на тобто

(3.2)

де — многочлен степеня .

Виникає питання: чи всякий многочлен має корінь? Позитивну відповідь на це питання дає наступне твердження.

Теорема 8.3.2. (основна теорема алгебри). Всякий многочлен -го степеня має принаймні один корінь, дійсний або комплексний.

Доведення цієї теореми ми не приводимо. Користуючись основною теоремою алгебри, доведемо теорему про розкладання многочлена на лінійні множники.

Теорема 8.3.3. Всякий многочлен можна подати у вигляді

(3.3)

де — корені многочлена, — коефіцієнт многочлена при .

q Розглянемо многочлен (3.1). По теоремі 8.3.2 він має корінь. Позначимо його через . Тоді має місце співвідношення (3.2). А оскільки — також многочлен, то він має корінь. Позначимо його через .

Тоді , де — многочлен -го степеня. Отже, .

Продовжуючи цей процес, отримаємо у результаті:

. n

Множники в рівності (3.3) називаються лінійними множниками.

Приклад 1. Розкласти многочлен на множники.

m Многочлен перетворюється в нуль при . Отже, . l

Приклад 2. Представити вираз у вигляді добутку лінійних множників.

m Легко перевірити, що
l

Якщо в розкладанні многочлена (3.3) який-небудь корінь зустрівся раз, то він називається коренем кратності . У випадку (тобто корінь зустрівся один раз) корінь називається простим.

Розкладання многочлена (3.3) можна записати у вигляді

, (3.4)

якщо корінь має кратність , корінь – кратність і так далі.

При цьому , а – число різних коренів.

Наприклад, розкладання

можна записати так:

.

Користуючись теоремою 31.3, можна довести наступні твердження.

Теорема 8.3.4. Якщо многочлен тотожно рівний нулю, то всі його коефіцієнти рівні нулю.

Теорема 8.3.5. Якщо два многочлени тотожно рівні один одному, то коефіцієнти одного многочлена рівні відповідним коефіцієнтам іншого.

Наприклад, якщо, , то .

Теорема 8.3.6. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь , то він має і зв'язаний корінь .

В розкладанні многочлена (3.3) комплексні корені входять спряженими парами. Перемноживши лінійні множники

,

отримаємо тричлен другого степеня з дійсними коефіцієнтами . Насправді, де .

Таким чином, добуток лінійних множників, відповідних зв'язаним кореням, можна замінити квадратним тричленом з дійсними коефіцієнтами.

З урахуванням вищевикладеного справедливий наступний факт.

Теорема 8.3.7. Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на лінійні і квадратні множники з дійсними коефіцієнтами, тобто многочлен можна подати у вигляді

. (3.5)

При цьому всі квадратні тричлени не мають речовинних коренів.

Приклади розкладань (3.5):

1)

2)

3)

Дробово-раціональна функція

Дробово-раціональною функцією (або раціональним дробом) називається функція, рівна відношенню двох многочленів, тобто , де - многочлен степеня , а - многочлен степеня .

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менше степеня знаменника, тобто ; в протилежному випадку (якщо ) раціональний дріб називається неправильним.

Всякий неправильний раціональний дріб можна, шляхом ділення чисельника на знаменник, подати у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу , тобто .

Наприклад, – неправильний раціональний дріб. Розділимо чисельник на знаменник в стовпчик:

_ х⁴ –5х +9| х–2

х⁴–2х³ |х³ +2x² +4x+3

_ 2х³ –5х + 9

2х³–4х²

_4х² – 5х + 9

4х² – 8х

_ 3х + 9

3х – 6

15.

Отримаємо частку і залишок . Отже,

.

Правильні раціональні дроби вигляду

(I). ;

(II). ;

(III). (корені знаменника комплексні, тобто );

(IV). (, корені знаменника комплексні), де - дійсні числа, називаються найпростішими раціональними дробами I, II, III і IV типів.

Теорема 8.3.8. Всякий правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладений на множники

, можна подати (і притому єдиним чином) у вигляді наступної суми найпростіших дробів:

, (3.6)

де – деякі дійсні коефіцієнти.

Пояснимо формулювання теореми на наступних прикладах:

1) ;

2) ;

3) .

Для знаходження невизначених коефіцієнтів в рівності (3.6) можна застосувати метод порівняння коефіцієнтів.

Суть методу така:

1. В правій частині рівності (3.6) зведемо до спільного знаменника ; в результаті отримаємо тотожність , де – многочлен з невизначеними коефіцієнтами.

2. Оскільки в отриманій тотожності знаменники рівні, то тотожно рівні і чисельники, тобто

. (3.7)

3. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях (по теоремі 31.5 про тотожність многочленів) в обох частинах тотожності (3.7), отримаємо систему лінійних рівнянь, з якої і визначимо шукані коефіцієнти

Приклад 3. Подати дріб у вигляді суми найпростіших дробів.

m Згідно теореми 31.8 маємо:

, тобто

.

Звідси слідує

, тобто

.

Прирівнюючи коефіцієнти при , отримаємо

Розв’язуючи систему, знаходимо, що . Отже,

. l

Для знаходження невизначених коефіцієнтів застосовують також метод окремих значень аргументу: після отримання тотожності (3.7) аргументу надають конкретні значення стільки раз, скільки невизначених коефіцієнтів (звичайно вважають за значення дійсних коренів многочлена ).

Приклад 4. Подати дріб у вигляді суми найпростіших дробів.

m Маємо: . Звідси слідує

Покладемо , тоді , тобто ; покладемо , тоді , тобто ; покладемо , тоді , тобто . Отже

.l

8.3.2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів

Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів.

1. (формула (2) таблиці інтегралів);

2. (формула (1));

3. Розглянемо інтеграл .

Виділивши в знаменнику повний квадрат, отримаємо:

,

причому . Зробимо підстановку . Тоді , . Покладемо . Отже, використовуючи формули (2) і (15) таблиці інтегралів, отримуємо:

,

тобто, повертаючись до змінної

.

Приклад 5. Знайти .

m . Зробимо підстановку . Тоді , і

. l

4. Обчислення інтеграла вигляду .

Даний інтеграл підстановкою зводиться до суми двох інтегралів: , .

Перший інтеграл легко обчислюється:

.

Обчислимо другий інтеграл:

. (3.8)

До останнього інтеграла застосуємо інтегрування частинами. Покладемо

, тоді

Підставляючи знайдений інтеграл в рівність (3.8), отримаємо

, тобто

.

Отримана формула дає можливість знайти інтеграл для будь-якого натурального числа .

Приклад 6. Знайти інтеграл .

m Тут до . Оскільки , то

,

. l

8.3.3. Інтегрування раціональних дробів

Розглянутий в пунктах 1-3 матеріал дозволяє сформулювати загальне правило інтеграції раціональних дробів.

1. Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми многочлена і правильного дробу (див. пункт 2);

2. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, подати його у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;

3. Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.

Приклад 7. Знайти інтеграл .

m Під знаком інтеграла неправильний дріб; виділимо його цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:

 

_ x⁵ +2x³ +4x+4| x⁴ +2x³ +2x²

х⁵+2x⁴ +2x³ |x–2

_–2x⁴ +4x+4

–2x⁴–4x³–4x²

4x³+4x²+4x+4 (остача).

Отримаємо:

Розкладемо правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:

,

, тобто

.

Звідси слідує, що

Знаходимо: . Отже

, і

.

Інтегруємо отриману рівність:

.

Позначимо , тоді і . Таким чином

.

Отже

. l

Відзначимо, що будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функціях.

8.4. ІНТЕГРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

8.4.1. Універсальна тригонометрична підстановка

Розглянемо деякі випадки знаходження інтеграла від тригонометричних функцій. Функцію із змінними і , над якими виконуються раціональні дії (додавання, віднімання, множення і ділення) прийнято позначати , де – знак раціональної функції.

Обчислення невизначених інтегралів типу зводиться до обчислення інтегралів від раціональної функції підстановкою , яка називається універсальною.

Дійсно .

Тому

де - раціональна функція від . Звичайно, цей спосіб досить громіздкий, зате він завжди приводить до результату.

На практиці застосовують і інші, більш прості підстановки, залежно від властивостей (і вигляду) підінтегральної функції. Зокрема, зручні наступні правила:

1) якщо функція непарна відносно , тобто , то підстановку раціоналізує інтеграл;

2) якщо функція непарна відносно , тобто , то виконується підстановка ;

3) якщо функція парна відносно і , тобто , то інтеграл раціоналізується підстановкою . Така ж підстановка застосовується, якщо інтеграл має вигляд .

Приклад 1. Знайти інтеграл

m Зробимо універсальну підстановку . Тоді, . Отже . l

Приклад 2. Знайти інтеграл .

m Оскільки

, то вважаємо . Звідси

, і .

Тому .l

8.4.2. Інтеграли виду

Для знаходження таких інтегралів використовуються наступні прийоми:

1) підстановка , якщо – ціле додатне непарне число;

2) підстановка , якщо – ціле додатне непарне число;

3) формули пониження порядку: , якщо і - цілі невід’ємні парні числа;

4) підстановка , якщо – є парне від’ємне ціле число.

Приклад 3. Знайти інтеграл .

m Застосуємо підстановку . Тоді , і

. l

Приклад 4. Знайти інтеграл .

m

.l

Приклад 5. Знайти інтеграл .

m Тут . Позначимо . Тоді , і

. l

8.4.3. Використання тригонометричних перетворень

Інтеграли типу , , обчислюються за допомогою відомих тригонометричних формул:

,

,

.

Приклад 6. Знайти інтеграл .

m . l

8.5. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

8.5.1. Квадратичні ірраціональності

Розглянемо деякі типи інтегралів, що містять ірраціональні функції.

Інтеграли типу , називають невизначеними інтегралами від квадратичних ірраціональностей. Їх можна знайти таким чином: під радикалом виділити повний квадрат

і зробити підстановку . При цьому перші два інтеграли приводяться до табличних, а третій – до суми двох табличних інтегралів.

Приклад 1. Знайти інтеграли .

m Оскільки , то .

Зробимо підстановку , , . Тоді

. l

Приклад 2. Знайти інтеграл .

m Оскільки , то підстановка має вигляд , , . Тоді

. l

Інтеграли типу , де - многочлен степеня можна обчислювати, користуючись формулою

(5.1)

де - многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами, – також невизначений коефіцієнт.

Всі невизначені коефіцієнти знаходяться з тотожності, отриманої диференціюванням обох частин рівності (5.1):

, після чого необхідно прирівняти коефіцієнти при однакових степенях невідомої .

Приклад 3. Знайти інтеграл

m По формулі (5.1) маємо:

.

Диференціюючи цю рівність, отримаємо:

, тобто

,

. Порівнюємо коефіцієнти при однакових степенях :

, при

при

при

Звідси . Отже

. l

8.5.2. Дробово-лінійна підстановка

Інтеграли виду , де - дійсні числа, – натуральні числа, зводяться до інтегралів від раціональної функції шляхом підстановки , де – найменше спільне кратне знаменників дробів .

Дійсно, з підстановки виходить, що і , тобто і виражаються через раціональні функції від . При цьому і кожний степінь дробу виражається через раціональну функцію від .

Приклад 4. Знайти інтеграл .

m Найменше спільне кратне знаменників дробів і є 6. Тому вважаємо , , , . Отже

. l

Приклад 5. Вказати підстановку для знаходження інтегралів:

m Для підстановка , для підстановка . l

8.5.3. Тригонометрична підстановка

Інтеграли типу зводяться до інтегралів від функцій, раціонально залежних від тригонометричних функцій, за допомогою наступних тригонометричних підстановок: для першого інтеграла; для другого інтеграла; для третього інтеграла.

Приклад 6. Знайти інтеграл .

m Покладемо , , . Тоді

. l

8.5.4. Інтеграли виду

---

Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 843. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

---

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все... МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые... СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания... Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана... Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...