Краткая теория. Обчисліть потрійний інтегралОбчисліть потрійний інтеграл . Підінтегральна функція та поверхні, що обмежують область V, вказані в таблиці 1.
Таблиця 1.
3.1. Обчисліть криволінійні інтеграли першого роду. 3.1.1. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.2. , якщо – чверть кола , , . 3.1.3. , де – дуга кривої , , , . 3.1.4. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.5. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.6. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.7. , якщо – дуга кривої . 3.1.8. , де – відрізок прямої між точками і . 3.1.9. , де – дуга кривої , , , . 3.1.10. , де – дуга параболи , яка міститься всередині параболи . 3.1.11. , якщо – дуга кривої . 3.1.12. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.13. , якщо – дуга кривої . 3.1.14. , якщо – дуга кривої . 3.1.15. , якщо – дуга кривої від точки до точки . 3.1.16. , якщо – дуга кривої , , . 3.1.17. , якщо – дуга кривої . 3.1.18. , якщо – дуга кола , , . 3.1.19. , якщо – дуга кривої . 3.1.20. , якщо – дуга кривої . 3.1.21. , якщо – дуга кривої , , . 3.1.22. , якщо – дуга кривої , , . 3.1.23. Обчисліть , де – відрізок, що сполучає точки і . 3.1.24. , якщо – дуга кривої . 3.1.25. , якщо – дуга кривої . 3.1.26. , якщо – дуга астроїди , , . 3.1.27. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.28. , якщо – дуга кривої , , , . 3.1.29. , якщо – дуга астроїди , , . 3.1.30. , якщо – дуга кола , , .
3.2. Обчисліть криволінійні інтеграли другого роду (інтегрування проведіть у додатному напрямку). 3.2.1. , якщо – дуга кривої , розміщеної під віссю . 3.2.2. , якщо – дуга кривої , , . 3.2.3. , якщо – дуга кривої , , , . 3.2.4. , якщо – дуга кривої , , . 3.2.5. , якщо – дуга кривої , . 3.2.6. , якщо – дуга параболи , . 3.2.7. , якщо – чверть кола , , , що пробігається проти годинникової стрілки. 3.2.8. , де – дуга кубічної параболи , . 3.2.9. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.10. , якщо – дуга параболи , . 3.2.11. , якщо – дуга кривої , , . 3.2.12. , якщо – дуга кривої , . 3.2.13. , якщо – дуга параболи , . 3.2.14. , якщо – дуга кривої , . 3.2.15. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.16. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.17. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.18. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.19. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .
3.2.20. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.21. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.22. якщо – дуга параболи , розміщеної над віссю . 3.2.23. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.24. , якщо – дуга кривої , . 3.2.25. , якщо – дуга параболи , . 3.2.26. , якщо – дуга кривої , . 3.2.27. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.28. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.2.29. , якщо – дуга параболи , 3.2.30. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і . 3.3. Обчисліть криволінійний інтеграл по замкненому контуру L, використовуючи формулу Гріна. Обхід контура відбувається проти годинникової стрілки. 3.3.1. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.2. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.3. , якщо – контур, обмежений параболою і прямою . 3.3.4. , якщо – контур прямокутника , 3.3.5. , якщо – контур, обмежений параболами і . 3.3.6. , якщо – контур прямокутника , 3.3.7. , якщо – контур, обмежений параболою і прямою . 3.3.8. , де – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.9. , де – контур обмежений параболою і прямою . 3.3.10. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.11. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.12. , якщо – коло 3.3.13. , якщо – контур, обмежений параболою і прямою . 3.3.14. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.15. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.16. , якщо – контур, утворений параболами та . 3.3.17. , якщо – коло . 3.3.18. , якщо – контур, утворений параболою та прямою . 3.3.19. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.20. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.21. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.22. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.23. , якщо – контур, утворений параболою та прямою . 3.3.24. , якщо – коло . 3.3.25. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.26. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.3.27. , якщо – контур, обмежений параболами та . 3.3.28. , якщо – контур прямокутника , . 3.3.29. , якщо – коло . 3.3.30. , якщо – контур трикутника з вершинами , , . 3.4. Перевірте, що криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування та обчисліть його. 3.4.1. . 3.4.2. . 3.4.3. . 3.4.4. . 3.4.5. . 3.4.6. . 3.4.7. . 3.4.8. . 3.4.9. . 3.4.10. . 3.4.11. . 3.4.12. . 3.4.13. . 3.4.14. . 3.4.15. . 3.4.16. . 3.4.17. . 3.4.18. . 3.4.19. . 3.4.20. . 3.4.21. . 3.4.22. . 3.4.23. . 3.4.24. . 3.4.25. . 3.4.26. . 3.4.27. . 3.4.28. . 3.4.29. . 3.4.30. .
5.1. Обчисліть потік вектора через зовнішню поверхню піраміди, що обмежена координатними площинами та похилою площиною , користуючись формулою Остроградського – Гаусса.
5.2. Обчисліть циркуляцію векторного поля вздовж лінії перетину площини з координатними площинами, використовуючи безпосереднє обчислення та формулу Стокса (напрям руху вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з початку координат). 5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.2.4. 5.2.5. 5.2.6. 5.2.7. 5.2.8. 5.2.9. 5.2.10. 5.2.11. 5.2.12. 5.2.13. 5.2.14. 5.2.15.
Обчисліть циркуляцію векторного поля вздовж замкненої лінії L двома способами (безпосередньо та за формулою Стокса).
5.2.16. . 5.2.17. . 5.2.18. 5.2.19. . 5.2.20. . 5.2.21. 5.2.22. . 5.2.23. . 5.2.24. 5.2.25. . 5.2.26. 5.2.27. 5.2.28. 5.2.29. 12Следующая ⇒
|