Собственные незатухающие колебанияТакие колебания возникают в электромагнитном колебательном контуре, если его сопротивление R равно нулю (рис. 11.3.). Рис. 11.3. Сначала зарядим конденсатор С, затем, перекинув ключ К в положение 2, замкнём его на катушку индуктивности L. Начнётся разряд конденсатора. Запишем уравнение правила напряжений Кирхгофа: – U C = eСИ. Здесь U C = — напряжение на конденсаторе; eСИ = = = — э.д.с. самоиндукции; I = = — ток в контуре. Учитывая последние соотношения, перепишем уравнение Кирхгофа в виде: ; . (11.1) Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка — дифференциальное уравнение собственных незатухающих электрических колебаний. Решением этого уравнения является следующая гармоническая функция: q = A cos(w0 t + j). (11.2) Проверить это утверждение проще всего методом подстановки: . (11.3) (11.2) и (11.3) подставим в (11.1): . Это уравнение становится тождеством, если . Но w0 — частота колебаний. Следовательно, частота собственных незатухающих колебаний гармонического осциллятора: . (11.4) Постоянные А и j в решении (11.2) определяются из начальных условий колебательного процесса. Пусть в момент запуска часов (t = 0) q (0) = q 0, а ток в цепи отсутствует I (0) = 0. Это означает, что (см. 11.2): q (0) = A cosj = q 0 и . Из последнего выражения заключаем, что j = 0, а из предпоследнего, что A = q 0. Окончательно закон изменения заряда конденсатора во времени (11.2) принимает следующий вид: q = q 0cos(w0 t). Ток в цепи при этом меняется так: . (11.5) Колебания тока в цепи и заряда конденсатора происходят с одинаковой частотой w0, но колебания силы тока отстают по фазе на . В выражении (11.5) I 0 = q 0w0 — амплитудное значение силы тока. Графики зависимостей q = q (t) и I = I (t) приведены на рис. 11.4. Рис. 11.4.
|