Производная неявной функции

Говорят, что функция y = f(x) задана неявно, если она задана в виде уравнения f(x, y) = 0, неразрешенного относительно у. Например, х₂ + у₂ = ху. Для того, чтобы вычислить поступают следующим образом:

а) дифференцируют левую и правую части уравнения по переменной х, при этом переменную у считают функцией от х, например,

(х² + у²)_х¢ = (ху)_х¢; 2= + 2у * у¢ = у + ху¢;.

б) решают полученное уравнение относительно у¢;, например,

2у * у¢ - х у¢ = у + 2х; у¢ (2у - х) = у + 2х; .

Производная функции, заданной параметрически

Говорят, что функция у = f(x) задана параметрически, если она задана в виде системы уравнений: , t - параметр.

Например,

При дифференцировании функции, заданной параметрически, используют формулу .

Геометрический смысл производной: производная - тангенс угла наклона касательной:

		Х

 

 

Механический смысл производной: производная - мгновенная скорость тела в заданный момент времени.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНУЦИИ

Дифференциалом функции y = f(x) (обозначается dy, df(x)) называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Если у функции y = f(x) существует неравная нулю производная, то

d f(x) = f¢(x)Dx. Например,

Основные свойства дифференциала:

1. dc = 0;	4. d(UV) = dU * V + U * dV;	7.
2. dx = Dx;	5. d(U ± V) = dU ± dV;
3. d(cU) = cdU;	6.