Примеры решения задач на ограниченность множествДано множество точек на координатной прямой. Требуется охарактеризовать его ограниченность, указать точные грани и экстремумы множества. а) ; б) . Решение а) Записываем элементы множества и изображаем их точками на координатной оси: Описываем ограниченность множества , пользуясь определениями данного параграфа: – ограничено сверху, т.к. существуют числа такие, что для выполняется неравенство ; – не ограничено снизу, т.к. для найдется такой, что ; – неограниченное множество, т.к. не ограничено снизу; – точная верхняя грань , т.к. число 3 является наименьшим из всех чисел , ограничивающих множество сверху; – точная нижняя грань – не существует, или , т.к. множество не ограничено снизу; – максимум множества , т.к. 3 – это точная верхняя грань множества и она принадлежит ; – минимум множества – не существует, т.к. нет точной нижней грани, следовательно, она не может принадлежать . б) Решаем неравенство, определяющее множество , и изображаем множество точками на координатной оси: ; знаки дроби определяем методом интервалов:
Теперь описываем ограниченность множества : – ограниченное сверху, т.к. существуют числа такие, что для ; – ограниченное снизу, т.к. существуют числа такие, что для ; – ограниченное, т.к. ограничено сверху и ограничено снизу; – , т.к. число 0 является наименьшим из всех чисел , ограничивающих множество сверху; – , т.к. число –2 является наибольшим из всех чисел , ограничивающих множество снизу; – не существует, т.к. число не принадлежит ; – , т.к. число принадлежит .
|