Примеры решения задач. Пример 1.Точечный заряд q находится на расстоянии l от плоской границы раздела двух диэлектрических полупространств с проницаемостями e1 и e2 соответственно
Пример 1. Точечный заряд q находится на расстоянии l от плоской границы раздела двух диэлектрических полупространств с проницаемостями e1 и e2 соответственно. Определить поверхностную плотность связанного заряда на границе полупространств как функцию расстояния от заряда до точки поверхности. Первый способ Электрическое поле в каждом из диэлектриков можно рассматривать как суперпозицию двух полей в вакууме – поля точечного заряда и поля плоскости, заряженной с поверхностной плотностью заряда s¢ (s¢ - поверхностная плотность связанного заряда). Тогда для нормальных составляющих поля в первом и втором диэлектриков можно записать соотношения (см. рис.1.10): , где . Тогда . На границе двух диэлектриков , т.е. . Подставляя значения и в граничные условия, получаем уравнение относительно s¢: . Решение этого уравнения дает . Второй способ Задача может быть решена и с привлечение метода изображений с заменой границы раздела зарядами-изображениями. Так, поле на границе раздела со стороны второго диэлектрика можно представить как результат наложения полей в неограниченном диэлектрике с проницаемостью e2 зарядов q и зеркального q¢ - см. рис. 1.11а). Поле на границе раздела со стороны первого диэлектрика представляется полем заряда q¢¢ в неограниченном диэлектрике с проницаемостью e1, причем этот заряд находится в точке расположения реального заряда q (рис.1.11б)). Из условия непрерывности потенциалов на границе получаем или . Для нормальных составляющих векторов индукции условие их непрерывности на границе имеет вид: или . Решая эти уравнения относительно зарядов-изображений, получаем и . Учтем, что , и, кроме того, что . Тогда, подставляя значения зарядов-изображений в выражения для и , из равенства нормальных составляющих индукции на границе двух диэлектриков окончательно получае .
Пример 2. Круглый диэлектрический диск радиуса R, толщина h которого много меньше его радиуса, статически поляризован так, что вектор поляризации, равный , всюду одинаков и лежит в плоскости диска. Найти напряженность электрического поля в центре диска. Т.к. в рассматриваемом примере свободные заряды отсутствуют, то электрическое поле создается связанными зарядами, равномерно распределенными по боковой поверхности диска с плотностью s¢, как показано на рис.1.12. Поле в центре диска является суперпозицией элементарных полей с напряженностью , создаваемых элементарными поверхностными зарядами противоположного знака. Из рис.1.12 видно, что , где dE1 = dE2 - модули напряженностей полей, создаваемых в точке О элементарными поверхностными зарядами противоположного знака. Тогда . С другой стороны, из граничных условий для вектора следует, что Pn = P cos f = s¢. Следовательно, напряженность электрического поля в центре диска . При решении задачи использовалась система координат с осью Ох, совпадающей по направлению с вектором . Обобщением полученного результата является выражение .
|