Формирование простой случайной выборки. 1. Советов, Б. Я. Моделирование систем

1. Советов, Б. Я. Моделирование систем. Учеб. для вузов. [Текст] / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев / — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001.

2. Тарасик, В.П. Математическое моделирование технических систем Учебник для вузов. [Текст] / В.П. Тарасик. – Минск: Дизайн ПРО, 1997.

3. Программный комплекс Моделирование в технических устройствах (Заголовок с экрана). [Электронный ресурс]
URL: http://mvtu.power.bmstu.ru/ (дата обращения: 23.12.2013).

Планирование модельных экспериментов

Планирование модельных экспериментов преследует две основ­ные цели:

· сокращение общего объема испытаний при соблюдении требований к досто­верности и точности их результатов;

· повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности.

Поиск плана эксперимента производится в так называемом факторном про­странстве.

Факторное пространство - это множество внешних и внутренних парамет­ров модели, значения которых исследователь может контролировать в ходе подго­товки и проведения модельного эксперимента.

Поскольку факторы могут носить как количественный, так и качественный ха­рактер (например, отражать некоторую стратегию управления), значения факто­ров обычно называют уровнями. Если при проведении эксперимента исследователь может изменять уровни факторов, эксперимент называется активным, в против­ном случае — пассивным.

Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные сим­метрично относительно некоторого нулевого уровня. Точка в факторном про­странстве, соответствующая нулевым уровням всех факторов, называется цен­тром плана.

Интервалом варьирования фактора называется некоторое число , при­бавление которого к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание — нижний.

Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основно­го) выходного скалярного параметра , который называется наблюдаемой пе­ременной.

Предполагается, что значение наблюдаемой переменной, полученное в ходе эксперимента, складывается из двух составляющих:

,

где - функция отклика (неслучайная функция факторов);

- ошибка эксперимента (случайная величина);

- точка в факторном пространстве.

Очевидно, что является случайной переменной, так как зависит от случайной величины .

Дисперсия наблюдаемой переменной, которая характеризует точность из­мерений, равна дисперсии ошибки опыта: .

называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризу­ет качество эксперимента. Эксперимент называется идеальным при .

Существует два основных варианта постановки задачи планирования имитаци­онного эксперимента:

1. Из всех допустимых выбрать такой план, который позволил бы получить наибо­лее достоверное значение функции отклика f(x) при фиксированном числе опытов.

2. Выбрать такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика может быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний.

Решение задачи планирования в первой постановке называется стратегичес­ким планированием эксперимента, во второй - тактическим планированием.

 

Стратегическое планирование имитационного эксперимента.

 

Цель методов стратегического планирования имитационных эксперимен­тов - получение максимального объема информации об исследуемой системе в каждом эксперименте (наблюдении).

При стратегическом планировании эксперимента должны быть решены две ос­новные задачи:

1) идентификация факторов;

2) выбор уровней факторов.

Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени вли­яния на значение наблюдаемой переменной (показателя эффективности). Первичные - это те факторы, в исследовании вли­яния которых экспериментатор заинтересован непосредственно. Вторичные - факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых тре­бований:

1) уровни фактора должны перекрывать (заполнять) весь возможный диапазон его изменения;

2) общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмер­ному объему моделирования.

Задачей стратегического планирования эксперимента является отыскание компромиссного решения, удовлетворяющего этим требованиям.

Способы построения стратегического плана

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для факторов можно вычислить так:

,

где - число уровней - го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то ( - число уровней). Недостаток ПФЭ - большие временные затраты на подготовку и проведение.

Поэтому использование ПФЭ целесообразно только в том случае, если в ходе имитационного эксперимента исследуется взаимное влияние всех факторов, фи­гурирующих в модели.

Если такие взаимодействия считают отсутствующими или их эффектом пренеб­регают, проводят частичный факторный эксперимент (ЧФЭ).

На практике применяются различные варианты построения планов ЧФЭ.

1. Рандомизированный план - предполагает выбор сочетания уровней для каж­дого прогона случайным образом.

2. Латинский план («латинский квадрат») - используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичны­ми. Суть такого планирования состоит в следующем. Если первичный фактор А имеет уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается уровней. Выбор комбинации уровней факторов выполняется на основе специальной проце­дуры.

Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных фак­тора - В и С; число уровней факторов равно 4.

Соответствующий план можно представить в виде квадратной матрицы разме­ром (4 4) относительно уровней фактора А. При этом матрица строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора А встречался только один раз (табл. 1.4).

 

 

Таблица 1.4. Пример латинского плана

Значение фактора В	Значение фактора С
	С1	С2	С3	С4
В1	А1	А2	А3	А4
В2	А2	А3	А4	А1
В3	А3	А4	А1	А2
В4	А4	А1	А2	А3

 

В результате имеем план, требующий 4 4=16 прогонов, в отличие от ПФЭ, для которого нужно прогона.

3. Эксперимент с изменением факторов по одному.

Суть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все уровней, а остальные факторов поддерживаются постоянными. Такой план обеспечи­вает исследование эффектов каждого фактора в отдельности. Он требует всего прогонов ( - число уровней - го фактора).

4. Дробный факторный эксперимент.

Каждый фактор имеет два уровня – нижний и верхний, поэтому общее число вариантов эксперимента , - число факторов.

Тактическое планирование эксперимента

Совокупность методов установления необходимого объема испытаний относят к тактическому планированию экспериментов.

Поскольку точность оценок наблюдаемой переменной характеризуется ее дис­персией, то основу тактического планирования эксперимента составляют так на­зываемые методы понижения дисперсии.

 

Формирование простой случайной выборки

Так как имитационное моделирование представляет собой статистический эксперимент, то при его проведении необходимо не только получить достоверный результат, но и обеспечить его «измерение» с заданной точностью.

В общем случае объем испытаний (величина выборки), необходимый для получения оценок наблюдаемой переменной с заданной точностью, зависит от следую­щих факторов:

• вида распределения наблюдаемой переменной (при статистичес­ком эксперименте она является случайной величиной);

• коррелированности между собой элементов выборки;

• наличия и длительности переходного режима функционирования моделиру­емой системы.

Если исследователь не обладает перечисленной информацией, то у него име­ется единственный способ повышения точности оценок истинного значения наблюдаемой переменной - многократное повторение прогонов модели для каж­дого сочетания уровней факторов, выбранного на этапе стратегического планиро­вания эксперимента. Такой подход получил название «формирование простой слу­чайной выборки» (ПСВ).

При таком подходе общее число прогонов модели, необходимое для достижения цели моделирования, равно произведению ( - число сочетаний уровней факторов по стратеги­ческому плану; - число прогонов модели для каждого сочетания, вычисленное при тактическом планировании). Поэтому даже при использовании ПСВ до начала испытаний необхо­димо определить тот минимальный объем выборки, который обеспечит требуемую точность результатов.

Основной недостаток методов планирования, основанных на использовании простой случайной выборки, - медленная сходимость выборочных средних к ис­тинным средним с ростом объема выборки (пропорционально значению ). Это приводит к необходимости использования методов уменьшения ошибок, не требующих увеличения . Такие методы называются методами понижения дис­персии и делятся на три группы:

активные (предусматривают формирование выборки специальным образом);

пассивные (применяются после того, как выборка уже сформирована);

косвенные (в которых для получения оценок наблюдаемой переменной исполь­зуются значения некоторых вспомогательных величин).