Системы массового обслуживания

Рассмотрим основные понятия теории систем массового обслужива­ния, занимающейся построением моделей реальных систем обслуживания, производства, банковской деятельности и т.п. Эти математические схемы характеризуются тем, что в некоторые моменты времени (случайные или детерминированные) возникают заявки на обслуживание и имеются специальные устройства (приборы, инструменты) для обслуживания этих заявок, работающие по определенному закону.

Основные понятия теории массового обслуживания: входной по­ток заявок, обслуживающая система, выходной поток заявок.

Входной поток заявок (требований на обслуживание) характеризу­ется определенной организацией и рядом параметров (рис 9.14): интенсивностью поступления заявок, т.е. числом заявок, в среднем поступивших в единицу времени, и законом распределения вероятностей моментов прихода заявок в систему.

Рис. 9.14. Входной поток заявок

Обслуживающая система представляет совокупность устройств (канал, прибор), которые обеспечивают обслуживание заявки, при­шедшей в систему. Обслуживающая система характеризуется пропу­скной способностью (скоростью обслуживания), т.е. числом обслу­женных заявок в единицу времени, и законом распределения времени обслуживания заявок. Примерами обслуживающих систем могут служить коммутатор телефонной станции, станок, на котором обрабатываются детали, машины химчистки одежды, оператор сбе­регательного банка, дежурная справочного бюро и пр.

Выходным потоком заявок называется поток обслуженных заявок, выходящих из обслуживающей системы. Параметром выходного по­тока является интенсивность.

Всякая СМО имеет дисциплину очереди, т.е. порядок обслужива­ния пришедших заявок. Дело в том, что бывают случаи, когда система обслуживания не в состоянии немедленно обслужить все заявки. В результате образуется очередь из заявок, пришедших на обслужи­вание. То, в каком порядке заявки из очереди будут поступать в обслуживающую систему, определяется дисциплиной очереди. Напри­мер, первой заявка поступила и первой обслуживалась; последней заявка поступила и первой обслуживалась; случайный порядок об­служивания заявок; обслуживание определенных заявок в первую очередь (заявки с приоритетом) и т.п.

Рассмотрим более детально характеристики входного потока зая­вок и простейшие СМО. Потоком однородных событий называют временную последовательность появления заявок на обслуживание при условии, что все заявки равноправны. Существуют также потоки неоднородных событий, когда та или иная заявка обладает каким-то приоритетом.

Если поток однородный, то каждое событие характеризуется только моментом его наступления tу. Существует два способа за­дания однородных событий. Первый способ заключается в пере­числении всех известных моментов tj. Второй способ заключается в указании зависимости, позволяющей рассчитать t_у- по предыдущим значениям.

Однако на практике более интересны случайные потоки однород­ных событий, задаваемые законом распределения, который и харак­теризует последовательность tj, t₂,..., t_ш или последовательность ин­тервалов между случайными событиями Совокупность случайных величин {2;_у} считается заданной, если при числе заявок к > 1 определена совместная функция распределения вида

или для непрерывной случайной величины соответствующая плот­ность распределения вероятностей

Часто применяется случайный поток событий с ограниченным по­следействием,т.е. когда случайные величины Е, независимы.

Существуют также стационарные потоки,для которых вероятно­стный режим потока во времени остается неизменным. Это означает, что число заявок, поступивших в СМО в единицу времени, посто­янно.

Потоком с отсутствием последействия называется такой поток, у которого число заявок, поступивших в данный момент, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущий момент. Поток с отсутст­вием последействия — частный случай потока с ограниченным последействием. Для потока без последействия вероятность Р^, t) наступления к событий за интервал (t₀, t₀ + /) не зависит от возник­новения событий до момента /₀.

Для потоков с ограниченным последействием совместная функ­ция плотности может быть представлена в виде

Стационарный поток с ограниченным последействием характе­ризуется следующим соотношением:

Это означает, что при j > 1 интервалы имеют одинаковое рас­пределение. Математическое ожидание ц случайной величины при j > 1 равно

где \i — средняя длина интервала между последовательными заяв­ками.

Для стационарных потоков с ограниченным последействием можно ввести понятие интенсивности потока А, в виде

Эта величина характеризует среднее число событий в единицу времени для данного потока.

Примером стационарного потока с ограниченным последействи­ем является поток с равномерным распределением интервалов времени между заявками. Функция плотности f(z) такого потока имеет вид

При этом

Такой поток часто используется в практических задачах, возни­кающих в экономических приложениях.

Ординарным потоком называется такой поток, в котором невоз­можно появление двух и более событий одновременно. В практике часто приходится сталкиваться с групповыми заявками, т.е. несколь­кими событиями, появляющимися одновременно. Такие потоки не являются ординарными.

В теории СМО большое значение имеет так называемый простейший поток однородных событий,называемый потоком Пуассона (пуассоновский поток). Этот поток должен быть стационарным, однородным и без последействия.

Для потока Пуассона вероятность P_k(t) наступления события за интервал времени длиной / записывается следующим образом:

где е — основание натурального логарифма,

— среднее число заявок, поступивших на обслуживание за интервал t,
к — число заявок за интервал t.

Функция плотности распределения вероятности этого потока бу­дет

где — интенсивность или плотность потока.

Для расчетов параметров СМО на основе потока Пуассона необ­ходимо проверить, соответствует ли он закону распределения Пуас­сона. Признак потока Пуассона — равенство математического ожи­дания X дисперсии G, т.е. X = G.

Пусть х — число заявок, поступивших за единицу времени, т — число единиц времени, an — общее число поступивших заявок.

Пример. Проверить, является ли поток требований в систему рас­пределенным по закону Пуассона.

т	X	тх	тх
0		0	0
1		31	31
2		80	160
3		60	180
4		40	160
5		20	100
6		36	216
Ито го		267	847

Отсюда

Дисперсия потока равна

В связи с тем что поток можно считать пуассоновским.

Простейший поток и поток с равномерным распределением ин­тервалов времени между последовательными событиями наиболее часто применяются в теории и практике СМО.

Часто используется также ординарный стационарный поток с от­сутствием последействия, который называется потоком Эрланга. По­током Эрланга порядка т называют поток, для которого

где

Поток событий называется регулярным,если длина интервала ме­жду событиями — постоянная величина. Примерами такого потока могут служить ежедневные сводки о каких-либо событиях (отчеты о дневной выручке в магазине, ежедневная сумма сделок на бирже или прихода средств в банк и т.п.), регламентированный поток деталей, сходящих с конвейера, поток поездов в метро и др.

Если известна длина интервала регулярного потока а, то такой по­ток полностью определен во времени и не является случайным. Регу­лярный поток также является ординарным и стационарным. Однако регулярный поток является потоком с последействием. Интенсив­ность регулярного потока

Потоки событий различного вида могут разрежаться и объединяться [37]. К сожалению, эти термины могут применяться только к потокам определенного вида. Так, например, если интервалы в потоке Эрланга п -го порядка уменьшить в (я + 1) раз, то интенсивность полученного потока станет равной интенсивности исходного пуассоновского пото­ка, и с ростом я такой поток становится сколь угодно близким к регу­лярному с той же интенсивностью. Такие нормированные потоки Эр­ланга дают различные типы потоков с последействием, начиная от потоков без последействия (я = 1) и кончая регулярными (я = °°).

Если объединяются несколько независимых ординарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых по­токов объединенный поток приближается к простейшему с возмож­ной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны, то в пределе получается пуассоновский поток. Интенсивность объеди­ненного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.

Поток, получаемый в результате случайного разрежения или объ­единения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.

Как будет показано ниже, используя потоки Эрланга и Пуассона, можно рассчитать аналитически установившиеся значения различных параметров СМО. Однако применение этих потоков в практике имита­ционного моделирования в чистом виде, без специальной корректиров­ки, учитывающей изменения типа потока, его интенсивности и т.п. крайне ограничено.

Таким образом, вышеприведенные математические описания по­токов однородных событий позволяют формализовать процессы функционирования СМО.

Представим СМО в виде п параллельных линий одновременного обслуживания заявок (рис. 9.15).

Рис. 9.15. СМО из п линий обслуживания

При поступлении заявок в СМО последняя может находиться в следующих состояниях: все линии (каналы) заняты и имеется сво­бодная линия (канал).

Пусть /_ож — время ожидания обслуживания, тогда в первом случае поступившая заявка может иметь три варианта поведения, а именно: покинуть систему (/_ож = 0), встать в очередь на обслуживание до того момента, пока не освободится свободный канал (/_ож = °°) и, нако­нец, встать в очередь с ограничением времени ожидания обслуживания

Исходя из этого СМО подразделяются на системы с отказами , системы с ожиданием и системы с ограниченным ожиданием Величина /_ож — один из показателей качества СМО.

Рассмотрим теперь время обслуживания заявки (время занятости линии) t_o6c как параметр обслуживающей системы. Время обслужи­вания требований — случайная величина и может изменяться в боль­шом диапазоне. Случайная величина t_o6c характеризуется законом распределения, который может определяться на основе статистиче­ских испытаний. На практике часто исходят из гипотезы о показа­тельном законе распределения времени обслуживания.

При показательном законе распределения времени обслуживания функция его распределения Р, равна

где — интенсивность обслуживания одного требования одним об­служивающим устройством, а

где 7"_обс — среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

При показательном законе распределения времени обслуживания и при наличии п обслуживающих линий одинаковой мощности

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки а

Величина показывает число требований, поступающих в СМО за время обслуживания одного требования одним устройством. В этом случае число обслуживающих устройств п должно быть не меньше коэффициента загрузки, т.е.

В противном случае очередь будет бесконечно расти.

Ниже приведены расчетные формулы для определения важней­ших характеристик качества функционирования СМО при показа­тельном законе распределения времени обслуживания заявок.

1. Вероятность того, что все обслуживающие системы свободны

2. Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты

3. Среднее число устройств, свободных от обслуживания

4. Коэффициент простоя обслуживающих устройств

5. Среднее число устройств, занятых обслуживанием

6. Коэффициент загрузки системы

7. Средняя длина очереди

8. Среднее время ожидания требований в очереди

или

где а — коэффициент загрузки;

п — число обслуживающих устройств;

Т_о6с — среднее время обслуживания одного требования одним

устройством;

0 — интенсивность обслуживания одного требования одним

устройством.

Таким образом, для простейших потоков и элементарных СМО можно аналитически вычислить их качественные параметры. Реаль­ные экономические объекты, как правило, представляют сложные СМО как по структуре, так и по входным потокам и параметрам. В большинстве случаев аналитические выражения для оценки качества СМО, моделирующих реальные экономические объекты и процессы, найти не удается. Применение имитационного метода к задачам мас­сового обслуживания позволяет находить необходимые показатели качества для экономических систем любой сложности, если удается построить алгоритмы имитации каждой части СМО.

Сущность имитационного моделирования СМО заключается в том, что необходимо построить алгоритмы, вырабатывающие случайные реализации заданных событий или потоков. Это означает, что нужно проимитировать все входные потоки, задать случайные значения вре­мен обслуживания заявок для каждого канала и дисциплину очереди.

Работа алгоритма заключается в многократном воспроизведении случайных реализаций процесса прихода заявок и процесса их обслу­живания при фиксированных условиях задачи. Меняя условия зада­чи, параметры входных потоков и элементов СМО, можно получить качественные параметры данной СМО при тех или иных изменениях. Качественные параметры СМО типа вышеперечисленных для про­стейших входных потоков и элементарных СМО оцениваются путем статистической обработки величин, являющихся качественными по­казателями функционирования СМО.

Метод имитационного моделирования позволяет изучать пере­ходные процессы в СМО, возникающие при существенных измене­ниях распределения моментов поступления заявок в СМО, от преоб­разования структуры и параметров СМО и т.п. При осуществлении имитационного моделирования стационарный или установившийся режим деятельности СМО наступает после значительного числа ими­тационных реализаций, а начальные реализации процесса могут существенно отличаться от установившихся. Здесь сразу просматри­ваются преимущества имитационного метода в отличие от аналити­ческих методов расчета параметров СМО, так как последние позво­ляют получить величины параметров только для установившихся значений.

Рассмотрим методику имитационного моделирования СМО.

Вопросы формирования случайных потоков событий

Выше были показаны способы применения простейших случайных потоков событий. Как правило, такие потоки должны обладать свой­ствами стационарности, у них отсутствует последействие и однород­ность. Если выполнить все эти условия, то имитационное моделиро­вание СМО в отличие от аналитического решения сможет дать дополнительно только значения качественных параметров в переход­ном процессе, т.е. в начальный период функционирования СМО. Ус­тановившиеся значения с точностью до инструментальной ошибки должны быть одинаковы.

В учебном процессе при иллюстрации аналитического решения или решения на имитационной модели в большинстве случаев именно так и поступают. Тем самым создается ошибочное впечатление о больших возможностях аналитического или имитационного методов оценки СМО. Причина такого заблуждения заключается в том, что модели СМО строят обычно математики, которым гораздо проще сделать поток однородным, стационарным и без последействия, чем изучать фактические потоки событий в реальных объектах при их мо­делировании с применением СМО.

Способов получения простейших случайных потоков однородных событий, обладающих свойствами стационарности при отсутствии последействия, достаточно много, как и литературы по этому поводу, например работы [19, 43, 37]. Вместе с тем можно утверждать, что применение простейших потоков случайных событий при аналитиче­ском или имитационном моделировании на основе СМО сложных экономических объектов неэффективно и, как правило, создает оши­бочное представление о качестве функционирования объекта.

В качестве примера рассмотрим сравнительно простую модель СМО фабрики химчистки одежды. Пусть фабрика химчистки имеет 10 машин для чистки одежды. Машины работают две смены —16 ч. В среднем одна машина обрабатывает 5 заказов за 1 ч, 80 заказов за две смены в день. Все 10 машин за 2 смены обрабатывают 800 заказов. В среднем за день на фабрику поступает от 500 до 1500 заказов. Тре­буется определить оптимальное число работающих машин, длины очередей клиентов и среднее время нахождения в очереди.

Используя введенные выше зависимости, можно вычислить зна­чения среднего числа машин химчистки, свободных от работы N_o, среднюю длину очереди клиентов L и среднее время ожидания кли­ентов в очереди /_ож. Естественно, что для зак/день и зак/день характеристики качества обслуживания будут различными. Учитывая, что среднее число заявок, обслуживаемых в

единицу времени равногде — среднее время об-

служивания одного заказа одной машиной химчистки, причем суток, вычислим коэффициент интенсивности нагрузки

2. Величина а характеризует среднее

число машин, которое необходимо иметь, чтобы обслужить за сутки (сутки приняты за единицу времени) все поступившие заказы. Таким образом, необходимо иметь всего 6,2 машины для случая \₁ = 500, а для Х₂ ⁼ 1500 необходимое число машин составит более 18 (а₂ = 18,75). Чтобы очередь заказчиков не росла безгранично, необходимо выполнить условие где п — число машин химчист-

ки. Поскольку в нашем примере на фабрике имеется 10 машин хим­чистки, то а

Следовательно, для входного потока с зак/день очередь будет безгранично расти.

Каковы же выводы? Мы не будем рассчитывать другие показатели качества обслуживания, так как это заняло бы для нашей небольшой экономической системы достаточно много времени и отвлекло от главного. Выводы таковы:

1. Мы не можем сказать, сколько машин химчистки нужно уста­новить, чтобы обслуживать потоки с X_i = 500 и Х₂ ⁼ 1500, так как а меняется от 6,2 до 18,75.

2. В связи с тем что потоки заявок в системе рассчитаны для средних суток, то расчеты длины очереди L и среднего времени ожидания об­служивания Т_ож, как и другие качественные параметры, будут сделаны неверно, так как интенсивность потока в различные часы суток различ­на и может меняться до 5 раз. Конечно, можно рассчитать эти парамет­ры за каждый час отдельно, но и это будет неверно, так как СМО будет находиться в постоянном переходном процессе. В этом случае входной поток будет нестационарным и с последействием, так как математиче­ское ожидание числа заказов в единицу времени будет меняться в 3—5 раз, а число заказов, поступивших, например, в 18 часов, зависит от того, сколько их было фактически за каждый предыдущий час.

3. Цикл работы фабрики химчистки равен одному году, так как ус­луги химчистки обладают существенной сезонностью. Имеют место весенний и осенний пики потока заказов, а летом и зимой интенсив­ность заказов снижается. Весной одежду меняют с зимней на лет­нюю, а осенью — наоборот. Расчет по средней интенсивности потока заказов ничего хорошего не дает, так как в пик будет перегрузка, а в спад недогрузка. Разница между ними составляет опять же 3—5 раз.

4. Кроме того, имеет место цикличность работы и в зависимости от дня недели и в течение каждого дня.

Общий вывод таков:ни один параметр обслуживающей системы (химчистки) не будет найден достоверно как при аналитических рас­четах, так и при имитационных, если будут использованы входные потоки Пуассона, обладающие стационарностью, однородностью и отсутствием последействия. Поэтому использование входных пото­ков такого вида или даже модифицированных в реальных расчетах в чистом виде неприемлемо.

Это означает, что если используется какой-то входной поток, за­кон распределения которого можно записать в аналитической форме, то он должен быть, по крайней мере, преобразован в поток, учи­тывающий все необходимые факторы, воздействующие на данную СМО. После этого он становится неоднородным, нестационарным с последействием и даже неординарным.

Модель формирования такого потока для нашего примера пред­ставлена на рис. 9.16.

Рис. 9.16. Модель формирования реального потока заказов фабрики химчистки

Если взять поток Пуассона, то вероятность поступления за время t ровно к заявок будет

Блоки 2—4 модели должны воздействовать на параметры и та­ким образом, чтобы значение скорректированного потока ') за­висело от месяца , дня недели и времени суток т.е.:

Вид конкретной зависимости может быть задан как аналитически, так и таблично или при помощи логических фраз. Только после тако­го преобразования входного потока можно приступать к имитацион­ному моделированию, например, фабрики химчистки.

Выбор размерности входного потока заявок имеет принципиальное значение при его моделировании. Так, например, выбранная для фабрики химчистки размерность, характеризующая ее интенсив­ность, — число заказов в сутки. Такая размерность не позволяет учи­тывать изменения интенсивности потока в течение суток, а поэтому не верна. Правильная для нашего случая размерность входного потока заявок на обслуживание должна учитывать тот интервал времени, за который могут произойти какие-либо изменения входного потока и, в частности, его интенсивности. Для нашего случая размерностью должно быть число заказов в час.

Существует также еще один способ получения реальных входных потоков. Это использование реальных статистических данных о чис­ле заявок, поступивших в систему за определенное время. Вполне ес­тественно требование, чтобы временной период не был меньше необ­ходимой продолжительности цикла моделирования.

Вместе с тем при таком способе формирования входного потока событий возникают проблемы, связанные с воздействием объекта моделирования на входной поток. Фабрика химчистки обладает ко­нечной мощностью, и в период перегрузки каналов очередь заявок на обслуживание обрезается искусственно — прекращается прием зака­зов на фабрике. Такие факты нужно как-то учитывать, например, пу­тем добавления потерянных заявок в пиковый период, либо согла­ситься с тем, что модель данной СМО будет с ограничением длины очереди. Для других объектов таких ограничений может и не быть, поэтому прежде чем использовать фактическую статистику, необхо­димо ее проанализировать на предмет возможного влияния объекта моделирования на входной поток.

Входные потоки можно получать также и опросным путем, напри­мер, изучая спрос на товары и услуги. Исследование статистических данных для оценки возможности их применения при формировании входных потоков сводится к проведению анализа соответствующего динамического ряда на наличие тренда, сезонности и случайной со­ставляющей. Обычно их отфильтровывают, измеряют и лишь затем формируют необходимый входной поток. Таким же образом посту­пают при формировании входных потоков из простейшего потока. Полученные составляющие ряда применяются при формировании модели входного потока в соответствии с рис. 5.1.3.

Для нашего примера продолжительность моделируемого цикла не может быть меньше одного года, а имитационные реализации долж­ны учитывать данные за каждый час работы фабрики. Только при этих условиях можно получить достоверные качественные показате­ли, которые не будут одинаковыми в пределах моделируемого цикла. Они будут соответствовать реальным значениям в каждом однотип­ном интервале времени. Учитывая среднюю длину очереди L, сред­нее время ожидания обслуживания, а также число фактически загру­женных каналов, можно спроектировать, например, такую фабрику химчистки, у которой эти параметры соответствуют желаемым целе­вым показателям. В п. 5.2 показана агрегативная модель СМО, отображающая производственный процесс, в том числе и процесс функционирования рассмотренной фабрики химчистки. Для различ­ных экономических объектов выбор цикла моделирования может быть другим, но он должен учитывать все или почти все факторы, из­меняющие входной поток.

Естественно, что для других экономических объектов модель фор­мирования потока Р£^ор(7) будет иной, так как экономические факто­ры могут быть другими. Однако использование потоков без коррек­ции, как правило, не дает нужных результатов.

Аналогичное заключение можно сделать для показателей интен­сивности обслуживания 6 и числа обслуживающих каналов. Эти пока­затели также подвергаются воздействию различных экономических факторов, которые следует учитывать. Например, число каналов об­служивания не может быть постоянной величиной, так как они в ре­альной жизни выходят из строя, становятся на профилактику, дубли­руют друг друга и пр. Меняется также их производительность.

В этой связи необходимо обратить внимание на то, что фактически ни одна СМО, моделирующая реальные объекты и процессы, не будет находиться в режиме завершенного переходного процесса или в устано­вившемся режиме. Этот факт еще раз подтверждает неэффективность аналитического вычисления качественных параметров СМО для реаль­ных систем. Оценка установившихся значений качественных показа­телей для СМО, моделирующих реальные экономические системы имитационным способом, также проблематична. Здесь можно гово­рить о наличии тех или иных близких между собой значениях качест­венных показателей на определенных участках общего цикла моде­лирования. Однако говорить что-то об установившихся значениях в общем виде беспредметно. Это можно делать лишь для конкретного объекта.

 

По принципу работы модели можно разделить на математические и имитационные. Математические модели описывают объект с помощью математических формул, по которым выходные параметры вычисляются на основании значений входных параметров. Имитационные модели имитируют действия, выполняемые объектом, и выходные параметры получаются как результат этих действий. Осуществлять моделирование можно как с помощью физической имитации процессов, так и с помощью программных средств ЭВМ. Второй способ, естественно, является наиболее предпочтительным с точки зрения времени и затрат на построение модели и проведение экспериментов с ней. В настоящее время под термином “имитационная модель”, как правило, понимают именно специальный программный продукт, позволяющий имитировать заданный процесс.

 

ПРИМЕНЕНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ КЛЕЙНА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА

Постановка задачи

Мы будем моделировать влияние правительственной финансовой политики на функционирование экономики региона по методу Клейна [1]. Рассмотрим влияние следующих экзогенных переменных:

1) правительственного фонда заработной платы,

2) правительственных заказов

3) налога на деловую активность

на следующие эндогенные переменные:

1) личное потребление,

2) заработная плата,

3) прибыли,

4) инвестиции,

5) основной капитал и

6) национальный доход.

Описание модели

Из сказанного выше следует, что модель должна отражать зависимость 6 перечисленных эндогенных переменных от 3 факторов, определяющих финансовую политику. Стоит отметить, что реалистичная модель, описывающая поведение этих 6 переменных, по-видимому, должна быть значительно более сложной. Поэтому рабочие модели экономики США, такие, как Уортонская и Брукингская, содержат порядка 100 уравнений [1]. Интересующие нас величины зависят от множества других управлений, эндогенных и экзогенных переменных. Однако для иллюстрации достаточно разобрать менее сложную модель экономики США, созданную Клейном [2] и состоящую всего из 6 уравнений. Эта модель обладает двумя хорошими качествами. Во-первых, она относительно проста и легко поддается интерпретации. Во-вторых, хотя для некоторых ее вариантов удается получить аналитическое решение, ей присущи многие свойства более сложных эконометрических моделей, не допускающих непосредственного аналитического исследования.

Перечислим управления, эндогенные переменные, уравнения функционирования и тождества модели.

Управления

W2T — правительственный фонд заработной платы на Т-м отрезке времени (в качестве данных по этой переменной был взят фонд заработной платы органов управления по кварталам),

GT — правительственные заказы на Т-м отрезке времени (в качестве этих данных был взят объем госзаказа по Алтайскому краю),

ТХT — налог на деловую активность на Т-м отрезке времени (в качестве этих данных была взята сумма поступлений от налогов на прибыль юридических лиц).

Эндогенные переменные

СT — потребление на Т-м отрезке времени,

W1T — фонд заработной платы в частном секторе на Т-м отрезке времени,

ПT — прибыли на Т-м отрезке времени,

IT — инвестиции на Т-м отрезке времени,

KT — основной капитал в конце Т-го отрезка времени,

YT — национальный доход на Т-м отрезке времени (вместо этой переменной были взяты данные по кварталам показателя валового внутреннего продукта, его оценка проводится в текущих и сопоставимых ценах, а также может рассчитываться в постоянных ценах базового периода c пересчетом на основе дефлятора).

 

Уравнения функционирования

Тождества

Случайные возмущения m1, m2, m3распределены по нормальному закону с математическими ожиданиями Еm1, Em2, Em3, равными нулю, и ковариационной матрицей

где через обозначено математическое ожидание произведения возмущений в i-м и j-м уравнениях, взятых в один момент времени (i, j= 1, 2, 3).

Переменные и управляющие воздействия, а также последние 3 тождества, которые были использованы Л. Клейном в этой модели для анализа экономики США в 60-х годах двадцатого столетия, как показали вычисления по модели, не совсем подходят для экономики Алтайского края. Нами были выбраны следующие переменные, приведенные в таблице 1 в текущих ценах. В расчетах они были разбиты по кварталам и были пересчитаны на основе дефлятора.

По поводу данных, приведенных в таблице 1, и их использования в модели необходимо заметить следующее.

1) ФЗП органов управления – будет далее в модели выступать в качестве W2t (правительственный фонд заработной платы). В состав фонда заработной платы включаются начисленные предприятием, учреждением, организацией суммы оплаты труда в денежной и натуральной формах за отработанное и неотработанное время, стимулирующие доплаты и надбавки, компенсационные выплаты, связанные с режимом работы и условиями труда, премии и единовременные поощрительные выплаты, а также выплаты на питание, жилье, топливо, носящие регулярный характер.

2) Основные фонды (основные средства, основной капитал) – часть национального богатства, созданная в процессе производства, которая длительное время неоднократно или постоянно в неизменной натурально-вещественной форме используется в экономике, постепенно перенося свою стоимость на создаваемые продукты и услуги. В практике учета и статистики к основным фондам относят объекты со сроком службы не менее года и стоимостью выше определенной величины, устанавливаемой в зависимости от динамики цен на продукцию фондообразующих отраслей. Источниками информации об основных фондах служат формы статистической отчетности (формы № 11, 11 – краткая и др.), а также составляемые на их основе органами государственной статистики балансы основных фондов. В модели далее будет выступать в качестве Kt.

3) Инвестиции – денежные средства, целевые банковские вклады, паи, акции и другие ценные бумаги, технологии, машины, оборудование, лицензии, в том числе и на товарные знаки, кредиты, любое другое имущество или имущественные права, интеллектуальные ценности, вкладываемые в объекты предпринимательской и других видов деятельности в целях получения прибыли (дохода) и достижения положительного социального эффекта. В модели далее объем инвестиций будет выступать в качестве It.

4) Расходы на личное потребление - включают расходы домашних хозяйств на приобретение товаров и услуг во всех торговых предприятиях, на городских рынках и через неорганизованную (уличную) торговлю, предприятиях бытового обслуживания, пассажирского транспорта, связи, гостиницах, платных учреждениях культуры, здравоохранения, образования, а также потребление товаров и услуг в натуральной форме – произведенных для себя (сельскохозяйственная продукция личных подсобных хозяйств, условно исчисленные услуги по проживанию в собственном жилище) и полученных в качестве оплаты труда. В модели эти расходы на потребление будут выступать в качестве Ct.

5) Валовой региональный продукт (ВРП), представляет собой конечный результат производственной деятельности резидентных единиц-производителей в течение данного периода времени и исчисляется в рыночных ценах. Он предназначен для характеристики взаимосвязанных аспектов экономического процесса: производства товаров и оказания услуг, распределения доходов, конечного использования товаров и услуг. В зависимости от направлений исследования показателя валового внутреннего продукта его оценка проводится в текущих и сопоставимых ценах, а также может рассчитываться в постоянных ценах базового периода. Далее в модели валовой региональный продукт будет выступать в качестве Yt.

6) Валовая (чистая) прибыль представляет собой ту часть добавленной стоимости, которая остается у производителей после вычета расходов, связанных с оплатой труда наемных работников, и чистых налогов на производство и импорт. В модели далее объем прибыли будет выступать в качестве Пt.

7) Государственный заказ - заказ на покупку товаров, оказание услуг, проведение НИОКР, выдаваемый от имени органов государственного управления, финансируемый из государственного бюджета и направленный на удовлетворение общегосударственных нужд. Выдается, как правило, на условиях конкурса. В модели далее объем правительственных заказов будет выступать в качестве Gt.

8) Налог на прибыль – согласно российскому законодательству уплачивают юридические лица, осуществляющие предпринимательскую деятельность, а также филиалы и другие аналогичные подразделения предприятий, при условии, что они имеют отдельный баланс и расчетный счет. Объектом налогообложения является валовая прибыль, уменьшенная (увеличенная) в соответствии с положениями, установленными налоговым законодательством. В модели далее объем поступлений от налогов на прибыль будет выступать в качестве TXt.

9) Заработная плата в частном секторе – это заработная плата работников в частных предприятиях, показанная ими в соответствующих документах, подаваемых в налоговые органы. В связи с ее очевидным фактическим занижением в расчетах мы увеличили официальную величину в 3 раза. Далее будет выступать в качестве W1t.

Оценка параметров

Параметры уравнений функционирования рассматриваемой модели были оценены по двухшаговому методу наименьших квадратов. С учетом расчетов и замечаний эти уравнения имеют вид

Ковариационную матрицу можно оценить по формуле

Здесь через обозначена матрица невязок уравнений, получающаяся при подстановке в систему (6) - (8) фактических данных, на основе которых найдены оценки параметров модели. Это матрица размера NxМ, где N — число наблюдений в исходной выборке, а М - число уравнений.