СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ: ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ И F-КРИТЕРИЙ
t-критерий нельзя использовать для обнаружения общего действия независимой переменной в многоуровневом эксперименте. Его можно использовать только для проверки различия между средними значениями двух условий. Для того чтобы определить, отличаются ли в целом друг от друга различные уровни, требуется несколько иной подход и другой статистический критерий. Такой подход называют дисперсионным анализом; статистическая значимость оценивается F-критерием. Поскольку мы имеем дело с единственной независимой переменной, мы называем анализ однофакторным. В статистическом приложении к следующей главе, где будут рассматриваться эксперименты с двумя независимыми переменными, будет описана техника двуфакторного дисперсионного анализа. Две оценки σ̅2х
Рассмотрим снова эксперимент по измерению времени реакции, в котором использовались четыре группы испытуемых. Испытуемый дает ответ на звуковой тон; независимой переменной является громкость тона (или, вернее, звуковое давление). Используется четыре уровня звукового давления: 10 децибел (дБ), 30 дБ, 50 дБ и 70 дБ. В каждой группе 17 испытуемых, и для каждого испытуемого определяется среднее время реакции.
Предположим, нуль-гипотеза верна. Тогда в бесконечном эксперименте, т. е. для неограниченного числа тестируемых по каждому уровню испытуемых, мы имели бы всегда одинаковые величины для М̅1 М̅2, М̅3 и М̅4. Хотя, конечно же, среднее время реакции для различных испытуемых, которым предъявляется одно и то же условие, было бы различным.
Мы можем сделать две оценки параметра — σ̅2х по данным нашего эксперимента, снова допуская нуль-гипотезу Μ̅1 = Μ̅2 = Μ̅3 = Μ̅4. Одна из оценок основана на учете вариаций времени реакции среди испытуемых по всем уровням. Внутригрупповая вариация представляет собой просто объединение вариаций по всем уровням. Другая оценка определяет, насколько отдельные групповые средние отличаются от общего среднего эксперимента Μ1+2+3+4· Таким образом, существует внутригрупповая оценка σ̅2х и межгрупповая оценка σ̅2х.
Выборочное распределение F-критерия
Если верна нуль-гипотеза, то при достаточно длинной выборке оценки σ̅2х должны быть идентичны. В бесконечном эксперименте средняя оценка по межгрупповой вариации будет равна средней оценке по внутригрупповой вариации. В каждом отдельном эксперименте, включая рассматриваемый здесь эксперимент, мы те должны ожидать точного совпадения этих оценок. В одном эксперименте две эти оценки могут быть больше похожи, в другом — меньше. Когда две величины идентичны, их отношение равно 1:
Это отношение обозначается как F. В вышеприведенном выражении показан случай, когда F=l. Если нулевая гипотеза неверна, разность между средними для различных уровней будет намного больше, чем та, которую можно было бы объяснить несистематической вариацией данных. Межгрупповая оценка будет больше, чем внутригрупповая оценка; F будет больше 1. Однако можно ожидать, что отношение F от эксперимента к эксперименту будет отличаться от 1, даже если средняя величина равна 1 (как это предполагается нуль-гипотезой). Распределение величин F в бесконечном ряду экспериментов при допущении верности нуль-гипотезы является еще одним выборочным распределением. Это распределение можно представить так же, как распределение для t. Для примера приводится рис. 7.9.
Рис. 7.9. Ось абсцисс — F-отношение. Ось ординат — относительная частота. I — область принятия нуль-гипотезы; II — область отвержения с p = 0,05; III — область отвержения с р=0,01 Вопрос состоит в том, превышает ли полученная в некотором эксперименте величина F критическое значение, соответствующее выбранному альфа-уровню, обычно 0,05 или 0,01. Другими словами, мы отвергнем нулевую гипотезу только если вероятность того, что полеченная нами величина F могла бы появиться при правильности нулевой гипотезы, достаточно мала. Для этого наша F должна быть, конечно, больше 1, причем тем больше, чем меньше число испытуемых (или число проб) и чем больше несистематическая вариация. Нахождение величины F Давайте сделаем таблицу, показывающую, какие показатели необходимы для вычисления F.
Поскольку мы уже делали некоторые вычисления по четырем группам данных, давайте предположим, что они были получены и в эксперименте, где исследовалось влияние уровня громкости на время реакции. Назовем условие В уровнем 1, условие Г — уровнем 2, условие А — уровнем 3, условие Б — уровнем 4. Это избавит нас от большого числа вычислений. Кроме того, это даст нам уменьшение среднего времени реакции с увеличением громкости — как и должно быть. Таким образом, главные показатели нами уже вычислены (см. гл. 6).
Сумма квадратов для отдельной группы. Внутригрупповая (ВГ) сумма квадратов (СК) будет использована 10для определения оценки σ̅2х внутри группы. Она находится простым сложением членов Σ2x по строке, поэтому
СКВГ = ∑x12 + ∑x22 + ∑x32 + ∑x42. (7.1)
Здесь
СКВГ = 4673 + 5391 + 5808 + 4306 = 20 178. Сумма квадратов между группами. Межгрупповая сумма квадратов будет использована при определении оценки σ̅2х между группами. Для того, чтобы найти ее, вы сначала вычисляете общее («общ») среднее для четырех условий:
где k — число групп. Здесь
Затем ищется разность между каждым отдельным средним и общим средним. Такие разности обозначаются буквой d. Так,
d1 = Mt — Мобщ, d2 = M2 — Мобщ … (7.3)
Для числовых данных:
d1 = 265 — 215,5= +49,5; d2 = 250 — 215,5 = +34,5;
d3 = 185 — 215,5= —30,5; d4 = 162 —215,5 = —53,5.
Межгрупповая (МГ) сумма квадратов — это просто сумма квадратов величин d, умноженная на число случаев (n) по данному условию:
СКМГ = n(d12 + d22 + d32 + d42). (7.4)
Для числовых данных:
СКМГ = 17(2450,25 + 1190,25 + 930,25 + 2862,25) -= 17(7433) = 126361.
Внутригрупповое среднее квадратичное (СКВВГ).
Оценка σ̅2х, основанная на внутригрупповой вариации, называется внутригрупповым средним квадратичным. Она находится делением суммы квадратов внутри групп на сумму степеней свободы для средних всех групп. Так, она равняется (n1—1) + (n2—1) + (n3—1),...
Поскольку мы имеем k условий и N испытуемых в целом,
dfВГ = N — k. (7.5)
Для нашего эксперимента
dfВГ = 68 — 4 = 64.
Как уже говорилось,
Для наших данных
F-отношение. Последний шаг в вычислении F-деление межгруппового среднего квадратичного на внутри-групповое среднее квадратичное. Вспомните, что чем больше это отношение, тем более вероятно, что нуль-гипотеза может быть отвергнута:
Или:
Отвержение или принятие нуль-гипотезы
На графике F-распределения, приведенном в начале данного статистического приложения, полученная нами величина F оказывается расположенной далеко справа. Очевидно, что если бы была верна нулевая гипотеза, то такое большое F-отношение должно получаться крайне редко, ведь в бесконечном ряду экспериментов отношение равнялось бы 1. Мы должны обеспечить уверенность, что имеем право отвергнуть нуль-гипотезу, найдя критическую величину в Статистической таблице 3 в конце данного приложения.
Поскольку распределение будет иметь различную форму в зависимости от числа степеней свободы в числителе и знаменателе, таблица разделена на несколько вертикальных столбцов и множество горизонтальных строк. Каждый столбец содержит критические величины F для альфа-уровня 0,05 и 0,01 при определенном числе степеней свободы в числителе F-отношения. Каждая строка показывает то же самое для определенного числа степеней свободы в знаменателе.
Используя Статистическую таблицу 3 для нашего F = 133,71 с df = 3 в числителе и df = 64 в знаменателе, мы обращаемся к столбцу 3 и строке 65 наиболее близкой к 64. Величина 2,75 показывает значение F, требуемое для отвержения нулевой гипотезы на уровне 0,05; величина 4,10 показывает значение, требуемое для отвержения нуль-гипотезы на уровне 0,01. Этим уровням соответствуют линии, приведенные на графике распределения F. Область отношений отвержения нуль-гипотезы для каждого из этих альфа-уровней, лежит справа от каждой линии. Конечно, нет необходимости рисовать распределение, когда мы можем использовать таблицу критических величин. Для наших числовых данных мы можем утверждать, что p < 0,01.
Таблица дисперсионного анализа
Только что описанный метод называют дисперсионным анализом (или ANOVA при вычислениях на ЭВМ). По существу, все дисперсии данных уже были проанализированы по частям. Вы могли бы вычесть общее среднее из величины реакции, полученной для каждого испытуемого, и возвести в квадрат 68 разностей. Их сложение дает общую сумму квадратов (СКобщ)· Теперь, если вы сложите вместе сумму квадратов внутри групп и сумму квадратов между группами и не сделаете ошибок, эта сумма тоже будет равняться общей сумме квадратов (СКобщ)·
Представлять результаты дисперсионного анализа принято в виде таблицы сумм квадратов и средних квадратичных. Вот как мы могли бы представить наши данные: Дисперсионный анализ Эксперимент по исследованию зависимости между громкостью стимула и временем реакции
Задача: Проведите дисперсионный анализ на основании следующих данных, соотносящих число решенных проблем с величиной денежной награды. Завершите анализ дисперсионной таблицей. Данные получены на различных группах испытуемых.
Награда (от меньшей к большей)
Статистическая таблица 3. Критические значения F для отвержения нуль-гипотезы (верхнее число для α — 0.05, а нижнее для α = 0,01)
|
, (7.2)
. (7.6)
.
. (7.9)
.
