Сравнение бесконечно малых функций.

запись по телефонам:

+7 911 0 999 501

+7 951 65 77 101

Сравнение бесконечно малых функций.

 

Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

Чтобы сравнить между собой две бесконечно малые при функции f(x) и φ(x), находят предел их отношения, когда . При этом:

1. если , то f(x) называют бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с φ(x) при ; в этом случае пишут f(x) = о(φ(x));

2. если , то f(x) называют бесконечно малой функцией более низкого порядка по сравнению с φ(x) при ;

3. если и c ≠ 0, то f (x) и φ(x) называют бесконечно малыми функциями одного порядка малости при , в частности, если c = 1, то f(x) и φ(x) называют эквивалентными бесконечно малыми функциями при , что обозначается так: f(x) ~ φ(x) при .

 

Принцип замены бесконечно малых функций на эквивалентные: предел отношения бесконечно малых функций f (x) и φ;(x) при равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций f* (x) и φ* (x) при , т.е., верны предельные равенства:

Принцип замены бесконечно малых функций можно использовать только в произведении и частном функций.

Таблица эквивалентности бесконечно малых функций при x → x₀:

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

5. ; 11. .

6. ;

Примечание. В таблице эквивалентности бесконечно малых функций

Пример 1. Доказать, что функции и при x→;0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

Решение. Вычислим предел отношения функций f(x) и φ(x):

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Сравнение бесконечно малых функций. Стр.1

Пример 2. Вычислить .