Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на [ a;b ] и F (x) – какая-либо ее первообразная на [ a;b ]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) по отрезку [ a;b ] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция также является на [ a;b ] первообразной для f (x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

для любого x Î [ a;b ] (**)

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определенного интеграла , рассмотрим равенство (**) при x = a:

Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:

для xÎ [ a;b ]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определенным и неопределенным интегралами и дает правило вычисления определенного интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона-Лейбница часто записывают в виде:

,

Где используется обозначение:

.

Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Задача вычисления определенного интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Пример 1.

Ответ:

 

Пример 2.

 

Ответ: