КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ТОЧКИ.

План.

1. Предмет і метод нарисної геометрії.

2. Центральне і паралельне проеціювання. Властивості проекцій.

3. Двокартинне комплексне креслення точки.

4. Проекції точки на три площини.

5. Ортогональні проекції і система прямокутних координат.

6. Конкуруючі точки.

7. Точка в квадрантах і октантах простору.

 

1. Інженерна графіка відноситься до дисциплін, які складають основу загально-інженерної підготовки спеціалістів з вищою освітою і складається з двох дисциплін – нарисної геометрії та технічного креслення. Метою курсу інженерної графіки є одержання знань, необхідних інженеру для втілення технічних думок з допомогою креслення, а також розуміння конструкції та принципу роботи представленого на кресленні технічного виробу.

Нарисна геометрія, як навчальна дисципліна є теорією відображення на площині фігур розташованих у просторі, та операцій над нами.

Предметом нарисної геометрії є виклад і обґрунтування методів побудови зображень просторових форм на площині і способів розв'язання задач геометричного характеру за заданими зображеннями.

2. Правила побудови зображень, які викладаються в нарисній геометрії ґрунтуються на методі проеціювання (проектування). Слово “ проекція ” – латинське, що в перекладі означає “ кинути вперед ”.

Креслення, які виконуються в нарисній геометрії, називають проекційними кресленнями. Вони мають містити в собі геометричну інформацію про форму та розміри просторової фігури (оригіналу), бути виконані з дотриманням єдності умовностей, прийнятих при виконанні зображень, та відповідати вимогам зворотності, наочності, простоти та точності. При побудові цих креслень широко використовуються проекційні властивості предметів.

Формоутворюючими елементами простору є основні геометричні фігури – точка, пряма і площина, з яких утворюються більш складні фігури.

P

t

А

Аn

Рис.1.1. Просторова модель методу проекцій

На рис. 1.1 показано приклад побудови зображення точки - найпростішого елементу будь-якої геометричної форми, де точка А – оригінал, пряма t – проекційний промінь (проекційна пряма), площина p – площина проекцій, точка А_n – зображення точки А на площині p, тобто проекція точки А, (АА_n – проецюючий відрізок).

Залежно від способу проведення проекційних променів проекції поділяють на центральні і паралельні.

Ідею центрального проеціювання видно з рис. 1.2, рис. 1.3.

Рис.1.3. Центральне проеціювання об’ємної фігури

При цьому задаються фіксованим центром (полюсом) проеціювання S з якого виходять проекційні промені через усі найбільш характерні точки предмета до перетину їх з площиною проекцій. Сполучаючи точки перетину отримують центральну проекцію оригіналу.

Рис.1.2. Центральне проеціювання D АВС

 

 

Властивості центральних проекцій:

1. Проекція точки є точка.

2. Проекція відрізка є відрізок.

3. Проекція площини є площина.

4. Проекція проецюючого відрізка є точка.

5. Проекція проецюючої площини є відрізок

Рис.1.4. Паралельне проеціювання

Якщо центр проекцій S віддалити в нескінченність, то на кінцевому відрізку проецюючі промені будуть паралельні між собою (тобто задається напрямок проеціювання, а не центр проекцій). Такий вид проеціювання називається паралельним (рис. 1.4).

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проецюючі промені перпендикулярні до площини проекцій то такий спосіб проеціювання називається прямо-кутним, або ортогональним (рис.1.6).

Відмітимо інваріантні (незмінні) властивості, які відповідні паралельному ортогональному проеціюванню:

1. Всі властивості центрального проеціювання.

2. Проекції паралельних прямих паралельні.

3. Якщо точка D розділяє відрізок АВ в деякому співвідношенні (рис.1.5), то її проекція ділить проекцію відрізка в такому ж співвідношенні:

Рис.1.5. Властивості паралельного проеціювання

Yn

A

D

B

An

Bn

Dn

АD / DВ = А₀D₀/ D₀В₀.

4. Проекція точки перетину двох прямих являється точкою перетину проекцій цих прямих.

5. Плоска багатокутна фігура проецюється у фігуру з такою самою кількістю кутів.

6. При перенесенні плоскої фігури на паралельну площину її конфігурація не змінюється.

Проекція

Проекція

АПлощина проекцій

Площина проекцій

P2

P1

 

Рис.1.6. Паралельне ортогональне проеціювання

Якщо кут нахилу проецюючих променів не дорівнює 90⁰, то така паралельна проекція називається косокутною.

 

P2

P1

А2

А12

А1

АПлощина

x12

Рис.1.7. Двокартинне креслення точки

3. Одна прямокутна проекція точки не визначає її положення в просторі. Його можна визначити сукупністю двох прямокутних проекцій (горизонтальної А₁ та фронтальної А₂) на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій (горизонтальну площину проекцій P₁ та фронтальну площину проек-цій P₂) (рис.1.7.)

П₁ – горизонтальна площина проекцій; П₂ – фронтальна площина проекцій; Х₁₂ – вісь проекцій, лінія перетину площин П₁ і П₂; А₁ – горизонтальна проекція т. А; А₂ – фронтальна проекція т. А; А₁А₂ – вертикальна лінія зв’язку (з’єднує горизонтальну і фронтальну проекції т. А).

Для визначення положення точки за її паралельними проекціями необхідно мати дві паралельні проекції, одержані при двох напрямках проеціювання. Виходячи з того, що через точку можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до площини (тобто задати тільки один напрямок проеціювання S по відношенню до П₀), очевидно, що при ортогональному проеціюванні для одержання двох проекцій одної точки необхідно мати дві не паралельні площини проекцій. Оскільки П₁ ^ П₂, а проецюючі промені S ^ П₁ і М ^ П₂, то лінія яка з’єднує проекції точки А Þ А₁А₂ перпендикулярна осі проекцій Х₁₂: А₂А₁₂ ^ Х₁₂; А₁А₁₂ ^ Х₁₂.

Креслення, що складається з кількох (мінімум двох) звязаних між собою проекцій зображувальної фігури, називається комплексним.

Вперше здійснювати проеціювання предметів на дві взаємно перпендикулярні площини запропонував французький вчений Гаспар Монж. Проеціювання при цьому залишається прямокутним.

Рис.1.8. Гаспар Монж Gaspard Monge (1746—1818рр.)

Незважаючи на багатовікову історію розвитку теорії і практики побудови зображень, реальні способи побудови графічних зображень наприкінці XVIII ст. ще не мали єдиної логічної системи. Лише геніальний французький вчений Гаспар Монж (фр. GaspardMonge 1746–1818) із розрізнених методів і не завжди коректних способів побудови зображень створив нову галузь геометрії, систематизувавши й узагальнивши все те, що було запропоновано його попередниками.

Ця галузь геометрії стала називатися нарисною геометрією, суть якої вчений визначив так: “Мистецтво відображати на аркуші паперу, що має тільки два виміри, предмети, які мають три виміри”.

Подальший, після Гаспара Монжа, розвиток нарисної геометрії характеризується її деталізацією та застосуванням до вирішення різноманітних завдань науки та техніки.

Якщо обернути площину проекцій П₁ навколо осі Х₁₂ на кут 90⁰ до суміщення її з площиною проекцій П₂ (рис. 1.19-а), отримаємо плоске креслення, в якому проекції точки А₁ і А₂ розташовані на одному перпендикулярі до осі Х₁₂. Цей перпендикуляр називається вертикальною лінією зв’язку. Одержане креслення отримало назву епюр Монжа. При цьому відрізок А₂А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₁, а відрізок А₁А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₂.

P2

P1

А2

А12

А

x12

А1

А1

А1

А2

х12

Вісь проекцій

Лінія зв'язку

Фронтальна площина проекцій

Горизонтальна площина проекцій

а)

б)

Рис.1.9. Утворення плоского креслення

Для простоти побудов надалі комплексне креслення точки в системі двох площин проекцій будемо зображати без границь площин проекцій П₁ та П₂ так, як показано на рисунку 1.9-б.

Рис.1.10. Точка в системі трьох площин проекцій

4. Для з’ясування форми та розмірів складної фігури інколи двох проекцій недостатньо. В такому разі необхідно вводити в систему двох взаємно перпендикулярних площин проек-цій інші площини проекцій. Розглянемо введення в систему площин П₁ і П₂ третьої площини П₃, яка перпендикулярна до заданих площин П₁ і П₂. Ця площина називається профільною площиною проекцій (рис. 1.11).

Крім осі Х₁₂ з’являються дві нові осі: Y₁₃=П₁ Ç П₃; Z₂₃=П₂ Ç П₃. Літерою О₁₂₃ позначаємо точку перетину всіх трьох осей проекцій.

Плоске комплексне креслення утворюється шляхом суміщення площин П₁ і П₃ з П₂. Для суміщення П₁ з П₂ необхідно повернути її на 90° навколо осі Х₁₂ у напрямку руху годинникової стрілки; П₃ необхідно повернути навколо осі Z₂₃ на 90° у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки. Пряма, яка сполучає А₂ і А₃ називається горизонтальною лінією зв’язку.

Проекції однієї і тієї ж точки на комплексному кресленні розташовуються не довільно, а знаходяться в проекційному зв’язку (рис. 1.11), який полягає в наступному:

Рис.1.11.

x12

z23

y13

y13

A2

A3

A1

A12

A23

1. Фронтальна і горизонтальна проекції точки завжди знаходяться на одній вертикальній лінії зв’язку (А₂А₁ ^ OX).

2. Фронтальна і профільна проекції точки завжди знаходяться на одній горизонтальній лінії зв’язку (A₂A₃ ^ OZ).

3. Відстань профільної проекції точки від осі OZ дорівнює відстані горизонтальної проекції від осі ОХ (|А₁А₁₂| = |А₃А₂₃ |).

Рис.1.12. До визначення координат точки

5. У просторі є безліч точок, що займають різне положення відносно площин проекцій П₁, П₂ і П₃. В такому разі положення точки визначається дійсними величинами. Для цього в системі площин проекцій П₁, П₂, П₃ розміщується така ж система прямокутних декартових координат. Початок координатних осей суміщається з початком осей проекцій. Тепер положення кожної точки визначається трьома координатами – висотою, глибиною і широтою, які показують величини відстаней, на які точка віддалена від площин проекцій.

Висота точки (Z) визначає її відстань від площини проекцій П₁– АА₁ (на комплексному кресленні це відрізок А₁₂А₂).

Глибина точки (Y) визначає її відстань від площини проекцій П₂– АА₂ (на комплексному кресленні це відрізок А₁₂А₁)

Широта точки (Х ) визначає її відстань від площини проекцій П₃– АА₃ (на комплексному кресленні це відрізок А₁₂О₁₂₃).

Між координатами точки та її ортогональними проекціями існує зв’язок: координата Х визначає положення вертикальної лінії зв’язку; Y – горизонтальної проекції точки; Z – фронтальної проекції точки.

 

6. Точки, проекції яких хоча б на одну із площин проекцій збігаються (точки, які лежать на одному проецюючому промені) називаються конкуруючими. Так, точка А знаходиться над точкою В (рис. 1.13-а), а точка D знаходиться перед точкою С (рис. 1.13-б).

Конкуруючі точки застосовуються при визначенні видимості непрозорих фігур згідно правила:

1) з двох конкуруючих точок в горизонтальній проекції видима та, висота якої більша;

2) з двох конкуруючих точок у фронтальній проекції видима та, глибина якої більша;

3) з двох конкуруючих точок у профільній проекції видима та, широта якої більша.

а) б)

Рис.1.14. Конкуруючі точки на плоскому кресленні

7. Площини проекцій П₁ і П₂ ділять простір на чотири двогранні кути, які називають квадрантами (рис. 1.14-а).

Точка може розташовуватись в одному із чотирьох квадрантів. Тоді її проекції на комплексному кресленні займають різні положення (рис. 1.14-б). Т. А - І квадрант; т. В - ІІ квадрант; т. С - ІІІ квадрант; т. D - ІV квадрант.

а) б)

Рис.1.14. Точки в квандрантах простору

Рис.1. 15. Нумерація октантів простору

Площини проекцій П₁, П₂ і П₃ ділять простір на вісім тригранних кутів, які називають октантами (рис. 1.15).

Додатними напрямками осей вважають:

- для осі Х - ліворуч від початку координат;

- для осі Y - в бік глядача від площини П₂;

- для осі Z - вгору від площини П₁.

Приймаючи для відліку координат точки систему знаків, яка вказана на рисунку, отримаємо таблицю 1.1 для визначення знаку координат в октантах простору.

Таблиця 1.1.

Октант
Знаки координат	ОX	+	+	+	+	-	-	-	-
ОY	+	-	-	+	+	-	-	+
ОZ	+	+	-	-	+	+	-	-

Запитання для самоперевірки

1. У чому полягає суть центрального проеціювання?

2. У чому полягає суть паралельного проеціювання?

3. На які види поділяють паралельні проекції?

4. Як називають прямі А₁А₂, А₂А₃?

5. Що таке комплексне креслення точки і як його отримують?

6. У якій послідовності будують проекції точки за її координатами?

7. Що таке квадранти? Що таке октанти?

8. Якими способами можна побудувати третю проекцію точки за

двома її відомими?

 

ЛЕКЦІЯ 2.

КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ПРЯМОЇ.

План.

1. Комплексне креслення прямої окремого і загального положення.

2.Точка на прямій. Взаємне положення точки і прямої

3. Сліди прямої.

4. Визначення натуральної величини відрізка прямої і кутів його нахилу до площин проекцій.

 

1. Пряма в інженерній графіці розглядається як множина точок.

Пряма в просторі безмежна. Обмежена частина прямої називається відрізком.

При ортогональному проеціюванні на площину пряма, не перпендикулярна до площини проекцій, проецюється в пряму.

Оскільки положення прямої у просторі повністю визначається двома точками, то для визначення проекцій прямої досить визначити проекції будь-яких двох точок, які належать цій прямій.

Рис.2.1. Пряма в системі трьох площин проекцій

Провівши через точки А і В (рис. 2.1) перпендикуляри до площин проекцій П₁ і П₂, знайдемо проекції точок А і В: А(A₁, А₂, А₃), B(B₁, B₂, B₃).

Відрізок А₁В₁– гори-зонтальна проекція відрізка АВ, А₂В₂– його фронтальна проекція; А₃В₃– його профільна проекція.

Пряму на комплексному кресленні можна задати не тільки проекціями її відрізка (АВ), але і проекціями деякої довільної частини прямої (l), не позначаючи кінцевих точок цієї частини.

Зазвичай третю площину проекцій П₃ розглядають тільки як додаткову площину, тому що положення точки у просторі однозначно визначається двома її проекціями. Таким чином, дві проекції прямої повністю визначають її положення у просторі.

Для перетворення просторового макета у плоске комплексне креслення площину проекцій П₁ необхідно повернути навколо осі Х₁₂ на кут 90° за годинниковою стрілкою і провести перпендикуляри до осі Х₁₂ з проекцій точок А і В – А₁А₂; B₁B₂ (вертикальні лінії зв'язку).

Прямі в просторі можуть займати різні положення. Розрізняють наступні положення прямих: прямі загального положення; прямі рівня; проецюючі прямі

Відрізок АВ займає довільне (загальне) положення по відношенню до площин проекцій П₁, П₂, П₃ (тобто кути нахилу відрізка АВ до П₁, П₂, П₃ довільні, але відмінні від 0° і 90°) (рис. 2.2). Така пряма називається прямою загального положення. На комплексному кресленні проекції прямої загального положення складають з осями проекцій також довільні кути. Координати будь-якої точки прямої загального положення – мінливі величини: немає таких двох точок, для яких хоча б одна координата була однаковою.

 

Рис.2.2. Епюр прямої загального положення

Окрім розглянутого загального випадку розміщення прямої по відношенню до заданої системи площин проекцій, існують окремі (часткові) випадки.

Прямі, паралельні до площин проекцій, називаються лініями рівня.

Горизонтальна пряма (горизонталь) – це пряма, паралельна до горизонтальної площини проекцій. Вона позначається літерою h (h ₁, h ₂, h ₃) (на рис. 2.3 відрізок АВ паралельний до П₁). Усі точки горизонталі віддалені на однакові відстані від П₁, тобто для усіх точок горизонталі координата Z – величина постійна (Z = const). А тому h ₂ II Х₁₂(h ₂ ^ Z₂₃, h ₃ ^ Z₂₃).

Кут нахилу горизонталі до П₁– a = 0°. Кут нахилу горизонталі до П₂– b і кут нахилу до П₃– g визначаються з горизонтальної проекції h – h ₁(А₁В₁) (рис. 2.3).

На площину проекцій П₁ відрізки прямої h проецюються в натуральну величину, а на дві інші площини – зі спотворенням, у вигляді відрізків меншої величини.

 

Рис.2.3. Епюр горизонтальної прямої

 

h II П₁: a = 0Þ П₁; b Þ П₂; g Þ П₃

Фронтальна пряма (фронталь) – це пряма, паралельна до фронтальної площини проекцій. Вона позначається літерою f (f ₁, f ₂, f ₃) (на рис. 2.4 відрізок СD паралельний до П₂). Усі точки фронталі віддалені на однакові відстані від П₂, тобто для усіх точок фронталі координата Y – величина постійна (Y = const). А тому f ₁ II Х₁₂ (f ₁ ^ Y₁₃, f ₃ ^ Y₃₁).

Кут нахилу фронтальної прямої до П₂– b = 0 °. Кут нахилу фронталі до П₁– a і кут нахилу до П₃– g визначаються з фронтальної проекції f – f ₂(С₂D₂) (рис. 2.4).

На площину П₂ відрізки прямої f проецюються в натуральну величину, а на дві інші площини – зі спотворенням, у вигляді відрізків меншої величини.

f II П₂: a Þ П₁; b = 0 Þ П₂; g Þ П₃

Рис.2.4. Епюр фронтальної прямої

 

Профільна пряма – це пряма, паралельна до профільної площини проекцій. Вона позначається літерою р (р ₁, р ₂, р ₃) (на рис. 2.5 відрізок EF паралельний до П₃). Усі точки профільної прямої віддалені на однакові відстані від П₃, тобто для усіх точок профільної прямої координата Х – величина постійна (Х = const). А тому р ₁ ^ Х₁₂, р ₂ ^ Х₁₂(р ₁ II Y₁₃, р ₂ II Z₂₃).

Кут нахилу профільної прямої до П₃– g = 0 °. Кут нахилу профільної прямої до П₁– a і кут нахилу до П₂– b визначаються з профільної проекції р – р ₃(Е₃F₃) (рис. 2.5).

На профільну площину проекцій П₃ відрізки прямої р проецюються в натуральну величину, а на дві інші площини – зі спотворенням,у вигляді відрізків меншої величини, які перпендикулярні осі Х₁₂.

 

Рис.2.4. Епюр профільної прямої

р II П₃: a Þ П₁; b Þ П₂; g = 0 Þ П₃.

Пряма може бути не тільки паралельною до площини проекцій, але і знаходитись у ній. Характерною ознакою комплексного креслення такої прямої є належність однієї з проекцій такої прямої осі проекцій (рис. 2.5), де h⁰ – нульова горизонталь; f ⁰ – нульова фронталь.

 

Рис.2.5. Пряма, що належить площині проекцій

Проецюючими називаються прямі які перпендикулярні до однієї з площин проекцій і паралельні двом іншим площинам проекцій (рис. 2.6-2.8). На одній з площин проекцій проецююча пряма зображується у вигляді точки, а на двох інших - у вигляді відрізків, які займають горизонтальне або вертикальне положення і величина яких дорівнює натуральній величині відрізка прямої.

Пряма а ^ П₁– горизонтально проецююча пряма. Вона проецюється на горизонтальну площину в точку, а на фронтальну і профільну площини проекцій – в лінію, паралельну осі Oz.

 

Рис.2.6. Епюр горизонтально-проецюючої прямої

Пряма СD ^ П₂– фронтально проецююча пряма. Ця пряма проецюється в точку на фронтальну площину проекцій, а на горизонтальну і профільну площини проекцій – в лінію, паралельну осі Оу.

Рис.2.7. Епюр фронтально-проецюючої прямої

Пряма EF ^ П₃– профільно проецююча пряма. Пряма проецюється в точку на профільну площину проекцій, а її горизонтальна і фронтальна проекції паралельні осі Ох.

 

Рис.2.8. Епюр профільно-проецюючої прямої

2. Якщо точка лежить на прямій, то її проекції лежать на однойменних проекціях цієї прямої і на спільній лінії зв’язку.

Рис.2.9. Положення точки на прямій

Точка А (рис. 2.9) лежить на прямій m, тому що її проекції А₁ і А₂ розташовані відповідно на гори-зонтальній m₁ і фронтальній m₂ проекціях прямої.

Точки В,С, D i E не лежать на прямій m, тому що одна з проекцій кожної точки не належить відповідній проекції цієї прямої.

Точка, яка не лежить на прямій відносно прямої може займати різне положення. Наприклад: точка В знаходиться над прямою m, точка Е – під прямою m, точка С – за прямою m.

3. Пряма загального положення перетинає всі основні площини проекцій. Якщо відрізок АВ загального положення продовжити в обидва боки від точок А і В, то він перетне площини проекцій П₁ і П₁ в точках М і N (рис. 2.10).

Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої. Точка М – горизонтальний слід прямої АВ, а точка N – фронтальний слід прямої АВ.

 

Рис.2.10. Побудова слідів прямої загального положення

Слід – це точка, яка одночасно належить прямій і площині проекцій. З цієї умови витікає правило побудови слідів прямої. Побудувати сліди прямої на комплексному кресленні означає – знайти проекції слідів.

Горизонтальний слід прямої – це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П₁, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П₁– Z = 0. Точка прямої АВ, для якої Z = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.10) знаходиться на перетині фронтальної проекції прямої АВ (А₂В₂) з віссю Х₁₂. Це точка М₂– фронтальна проекція горизонтального сліду прямої. Точка М₁ знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з М₂ і належить горизонтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови на комплексному кресленні горизонтального сліду М прямої АВ необхідно:

1). Продовжити фронтальну проекцію А₂В₂ до перетину з віссю Х ₁₂ в точці М ₂. Точка М ₂– фронтальна проекція сліду М.

2). Провести через точку М₂ вертикальну лінію зв’язку до перетину з горизонтальною проекцією А₁В₁ прямої (або її продовженням) в точці М₁ (горизонтальній проекції сліду), яка збігається з самим слідом М.

Фронтальний слід прямої – це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П₂, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П₂– Y = 0. Точка прямої АВ, для якої Y = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.10) знаходиться на перетині горизонтальної проекції прямої АВ (А₁В₁) з віссю Х₁₂. Це N₁– горизонтальна проекція фронтального сліду прямої. N₂ знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з N₁ і належить фронтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови фронтального сліду (точки N) прямої АВ необхідно:

1). Продовжити горизонтальну проекцію А₁В₁ до перетину з віссю Х₁₂ в точці N₁. Точка N₁– горизонтальна проекція сліду N.

2). Провести через точку N₁ вертикальну лінію зв’язку до перетину з фронтальною проекцією А₂В₂ прямої (або її продовженням). Отримаємо точку N₂ (фронтальну проекцію сліду) яка збігається з самим слідом N.

Пряма загального положення в системі трьох площин проекцій має три сліди: горизонтальний, фронтальний і профільний; пряма рівня - два сліди; проецююча пряма – один слід. На рисунку 2.11-а показана побудова фронтального сліду N і профільного сліду Р горизонталі h, а також горизонтального сліду М і профільного сліду Р фронталі f (рис. 2.11-б).

 

а) б)

Рис.2.11. Побудова слідів прямих рівня

Горизонтально-проецююча пряма а має один горизонтальний слід М (М₁), який збігається з горизонтальною проекцією прямої а (рис. 2.12-а).

Фронтально-проецююча пряма b має один фронтальний слід N (N₂), який збігається з фронтальною проекцією прямої b (рис. 2.12-б).

 

а) б)

Рис.2.12. Побудова слідів проецюючих прямих

4. Пряма загального положення нахилена під різними кутами до площин проекцій, а тому проекції відрізка прямої різні за величиною і важливо уміти знаходити натуральну величину відрізка прямої за його проекціями.

Рис.2.13. До визначення натуральної величини відрізка

Розглянемо проекції відрізка АВ на дві площини П₁ і П₂. Якщо через т. А провести пряму АВ₀, яка паралельна А₁В₁, то отримаємо прямо-кутний D АВВ₀ у якого: АВ – гіпотенуза, натуральна величина (рис.2.13).

Оскільки АВ₀ II А₁В₁; АВ₀ ^ ВВ₁, Þ | А₁В₁ | = | АВ₀ | – катет АВ₀ дорівнює горизон-тальній проекції відрізка АВ. Другий катет ВВ₀ дорівнює різниці висот між точками В і А: | ВВ₀ | = Z_B – Z_A.

α – кут між гіпотенузою і катетом АВ₀, тобто між відрізком АВ і його проекцією на П₁ є кутом нахилу відрізка прямої АВ до площини проекцій П₁.

Такий трикутник можна штучно відтворити на комплексному кресленні (рис. 2.14). Горизонтальна проекція А₁В₁ буде виконувати функцію катета. Другий катет, величина якого дорівнює Z_B– Z_A, будуємо, взявши за вершину прямого кута точку А₁ (слід зауважити, що за вершину прямого кута може бути взятий будь який кінець проекції відрізка).

Натуральна величина відрізка прямої загального положення на комплексному кресленні будується як гіпотенуза прямокутного трикутника, перший катет якого дорівнює одній з проекцій даного відрізка, а другий - різниці відстаней від кінців відрізка, до тієї площини проекцій, на якій взято перший катет (різниці відстаней кінців другої його проекції від площини, на якій знаходиться перша проекція цього відрізка).

Кут нахилу відрізка прямої до площини проекцій визначається як кут між натуральною величиною відрізка і його проекцією на цю площину.

Рис.2.14. Визначення натуральної величини відрізка на епюрі

На рисунку 2.14 показано визначення натуральної величини відрізка АВ і кутів його нахилу до площин проекцій: a – до П₁; b – до П₂; g – до П₃ 3.

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута a необхідно:

1. Через одну з точок горизонтальної проекції відрізка (у нас точка А₁) провести перпендикуляр до проекції відрізка і на ньому відкласти різницю висот між точками В і А.

2. Точку А₀, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В₁. Відрізок А₀В₁ буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А₁В₁ і А₀В₁ буде кутом a нахилу відрізка АВ до площини проекцій П₁.

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута b необхідно:

1. Через точку А₂ або В₂ (у нас А₂) провести перпендикуляр до А₂В₂ і на ньому відкласти різницю глибин між точками А і В.

2. Точку А₀, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В₂. Відрізок А₀В₂ буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А₂В₂ і А₀В₂ буде кутом b нахилу відрізка АВ до площини П₂.

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута нахилу його до П₃ необхідно:

Через точку А₃ або В₃ (у нас А₃) провести перпендикуляр до А₃В₃ і на ньому відкласти різницю широт між точками А і В.

2. Точку А₀, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В₃. Відрізок А₀В₃ буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А₃В₃ і А₃В₃ буде кутом g – кутом нахилу відрізка АВ до площини проекцій П₃.

 

Запитання для самоперевірки

 

1. При якому положенні відносно площин проекцій пряма називається прямою загального положення?

2. Як довести, що креслення, яке містить дві, пов'язані між собою проекції у вигляді відрізків прямої лінії, виражає саме відрізок прямої лінії?

3. Як розміщена пряма в системі П1, П2, П3, якщо всі три проекції відрізка цієї прямої рівні між собою?

4. Як побудувати профільну проекцію відрізка прямої загального положення, за даними фронтальною та горизонтальною проекціями?

5. Які положення прямої лінії в системі П1, П2, П3 вважаються "особливими" (або частковими)?

6. Як розміщена фронтальна проекція відрізка прямої лінії, якщо його горизонтальна проекція дорівнює самому відрізку?

7. Як розміщена горизонтальна проекція відрізка прямої лінії, якщо його фронтальна проекція дорівнює самому відрізку?

8. Яка властивість паралельного проеціювання торкається відношення відрізків прямої лінії?

9. Як розділити на кресленні відрізок прямої лінії у заданому відношенні?

10. Що називається слідом прямої лінії на площині проекцій?

11. Яка координата дорівнює нулю: а) для фронтального сліду прямої, б) для горизонтального сліду прямої?

ЛЕКЦІЯ 3.