Плоское напряженное состояние

 

1. Арсеньев Б.П., Яковлев С.А. Интеграция распределенных баз данных. - СПб.: Лань, 2001. - 461с.

2. Бураков П.В., Петров В.Ю. Введение в системы баз данных: Учебное пособие. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. - 128 с.

3. Голицина О.Л., Максимов Н.В., Попов И.И. Базы данных: Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. – М.: Форум, Инфра-М, 2009. - 400 с.

4. Горев А., Макашарипов С., Ахаян Р. Эффективная работа с СУБД. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 298 с.

5. Дейт, К.Дж. Введение в системы баз данных. - 8-е изд., Пер. с англ. — М.: Вильяме, 2005. - 1328 с.

6. Диго, С. М. Базы данных: проектирование и использование: учебник для студ. вузов / С. М. Диго. – М.: Финансы и статистика, 2005. 592 с.

7. Кагаловский, М.Р. Энциклопедия технологий баз данных. – М.: Финансы и статистика, 2002. - 800 с.

8. Карпова, Т.С. Базы данных: Модели, разработка, реализация: Учебное пособие. - СПб.: Питер, 2002. - 303 с.

9. Коннолли, Т., Карелин Б. Базы данных. Проектирование, реализация и сопровождение. Теория и практика. 3-е изд.:пер. с англ. М.: Вильяме, 2003. - 1440 с.

10. Корнеев В.В., Гареев А.Ф., Васютин С.В., Райх В.В. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. - М.:Нолидж, 2000. - 352 с.

11. Корнеев И.К., Машурцев В.А. Информационные технологии в управлении. — М.: ИНФРА-М, 2001. - 158 с.

12. Коровин, Е.Н. Методология прогнозирования и оптимального управления территориально распределенными социально-экономическими системами на основе трансформации информации и многовариантного моделирования: Дис.... д-ра техн. наук. Воронеж, 2005. - 356 с.

13. Кузнецов С.Д. Основы баз данных. 2-е изд. М.: Бином, 2007. - 488 c.

14. Кульба В.В., Ковалевский С.С., Косяченко С.А., Сиротюк В.О. Теоретические основы проектирования оптимальных структур распределенных баз данных. – М.:СИНТЕГ, 1999 - 660с.

15. Макаров, C.B. Методы управления обновлениями и обеспечения согласованности информации в базах данных в расширенной архитектуре «клиент-сервер». Москва, 2000. - 145с.

16. Пушников А.Ю. Введение в системы управления базами данных. Часть 2. Нормальные формы отношений и транзакции: Учебное пособие/Изд-е Башкирского ун-та. - Уфа, 1999. - 138 с.

17. Пушников, А.Ю. Введение в системы управления базами данных. Часть 1. Реляционная модель данных: Учебное пособие/Изд-е Башкирского ун-та. - Уфа, 1999. - 108 с

18. Роб П., Коронел К. Системы баз данных: проектирование, реализация и управление. - 5-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 1040 с.

19. Таненбаум Э., Ван Стеен М. Распределенные системы. Принципы и парадигмы. СПб.: Питер, 2008 - 845с.

20. Таненбаум Э., Ван Стеен М. Распределенные системы. Принципы и парадигмы. - СПб: Питер, 2003. - 877с.

21. Ульман Д.Д. Введение в системы баз данных. М.: Лори, 2000. - 374с.

22. Цимбал А.А., Аншина М.Л. Технологии создания распределенных систем. Для профессионалов. - СПб.: Питер, 2003.-576 с.

 

 

7 c 58 Таненбаум Э., Ван Стеен М. Распределенные системы. Принципы и парадигмы. СПб.: Питер, 2008 - 845с.

 

Среди множества площадок, проходящих через точку тела, всегда можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых будут равны нулю. Площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют, называются главными, а действующие на этих площадках нормальные напряжения ¾ главными нормальными напряжениями.

Направления нормалей к этим площадкам называются главными направлениями или главными осями. Докажем существование главных площадок и их ортогональность.

Пусть наклонная площадка является главной. При этом полное напряжение на площадке совпадет с нормальным напряжением , а касательное напряжение . Проекции полного напряжения на оси координат будут

 

, , , (4.14)

 

где l, m, n — направляющие косинусы нормали к площадке.

Подставляя (4.14) в (4.9) и проводя преобразования, получаем

 

(4.15)

Основными неизвестными в системе линейных, однородных алгебраических уравнений (4.15) являются направляющие косинусы l, m, n; они не могут быть одновременно равны нулю, так как связаны соотношением (4.5). Поэтому для существования ненулевых решений определитель системы (4.15) должен быть равен нулю

 

. (4.16)

 

Раскрывая определитель (4.16), приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

 

, (4.17)

 

где ,

 

(4.18)

 

.

 

Уравнение (4.17) называется характеристическим уравнением напряженного состояния. Коэффициенты называются инвариантами тензора напряжений, т. е. не зависящими от выбора системы координат. Решение кубического уравнения (4.17) в общем случае имеет три вещественных корня , при них (как указывалось ранее) индексы надо расставлять так, чтобы выполнялось неравенство: . Понимать это равенство надо в алгебраическом смысле.

Каждому значению главного напряжения соответствует вектор нормали , характеризующий положение i -ой главной площадки с направляющими косинусами . Эти компоненты находятся подстановкой найденного значения в любые два уравнения системы (4.15) и дальнейшим их решением совместно с условием нормировки .

Таким образом, в самом общем случае вектор полного напряжения p_ν в рассматриваемой точке тела может занимать произвольное положение, а геометрическое место концов вектора в пространстве образует эллипсоид напряжений (рис. 4.5), полуосями которого являются главные напряжения . Очевидно, что при произвольном направлении вектора p_ν его проекции на полуоси главных напряжений принимают промежуточные значения.

Из данного геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных полных напряжений p_ν на множестве площадок, проходящих через заданную точку тела. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид приобретает форму тела вращения, тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения, становится главной. Если же равны все три главных напряжения, то эллипсоид трансформируется в сферу и в исследуемой точке все секущие плоскости являются главными.

 

 

Рис. 4.5. Эллипсоид напряжений

 

Плоское напряженное состояние

В случае плоского напряженного состояния равными нулю будут также коэффициент и один из корней характеристического уравнения (4.17), то есть одно из главных напряжений обращается в нуль. При этом уравнение (4.17) перейдет в следующее

 

, (4.19)

 

корни которого определяются равенствами

 

. (4.20)

 

В случае линейного напряженного состояния два главных напряжения будут равны нулю, т. е. в уравнении (4.14) коэффициенты .

Главные напряжения обладают важным свойством: нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения.

Теперь докажем ортогональность главных площадок. Сначала это сделаем для первой и второй главных площадок. Пусть направляющие косинусы первой главной площадки будут , а второй - . Выпишем уравнения (4.15) для первой и второй главных площадок в виде

 

(4.21)

, .

Далее поступим следующим образом. Умножим уравнения (4.21) первой группы соответственно на , а уравнения второй группы - на , а затем сложим все уравнения первой группы и отдельно второй. Вычитая из первой суммы вторую, получаем

 

. (4.22)

 

Из анализа уравнения (4.22) видно, что при

.

Последнее равенство и есть условие ортогональности первой и второй главных площадок. Аналогично доказывается ортогональность других главных площадок.

Напряжения на косых площадках при плоском напряженном состоянии

Рассмотрим напряженное состояние пластинки толщиной , находящейся под действием сил Р, лежащих в плоскости пластинки (рис. 4.6). Будем считать, что под действием внешних сил пластинка находится в плоском напряженном состоянии, значит . В выделенном элементе пластинки напряжения , и лежат в одной плоскости, поэтому напряженное состояние и называется плоским.

Пусть заданы напряжения на площадках и элемента ABC. Надо определить нормальные напряжения и касательные на площадке BC, нормаль к которой составляет угол с осью x. Массовыми силами, действующими на элемент ABC, пренебрегаем.

В случае плоского напряженного состояния тензор напряжений примет вид

 

.

Рис. 4.6. К определению напряжений на косых площадках

 

Величины и определим из условия равновесия элемента ABC, составив соответствующие уравнения в проекциях на оси и . Опуская промежуточные математические выкладки, окончательно получим

, (4.23)

. (4.24)

Если аналогично вычислить напряжения на площадке, нормаль к которой r перпендикулярна вектору нормали , то получим

 

, (4.25)

. (4.26)

Полученные формулы позволяют выявить важные закономерности. Так, складывая (4.23) и (4.25), имеем

. (4.27)

Видно, что сумма нормальных напряжений на произвольных взаимно перпендикулярных площадках при их повороте не меняется.

Сопоставляя (4.24) и (4.26), видим

, (4.28)

т. е. касательные напряжения, действующие на произвольных взаимно перпендикулярных площадках, подчиняются закону парности.

Положение главных площадок (касательные напряжения равны нулю) можно найти из (4.24) или (4.26), полагая или , следовательно

, (4.29)

где — угол, который составляет нормаль или главной площадки с осью .

Можно показать, что при заданных значениях , и на некоторых известных взаимно перпендикулярных площадках, нормальные напряжения на главных площадках определяются соотношением (см. формулу (4.20))

 

. (4.30)

Обратная задача - если известны главные напряжения , то формулы для определения напряжений на наклонных площадках примут вид

,

, (4.31)

.