Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций

Тема 5. Основы теории деформированного состояния. Объемная деформация. Обобщенный закон Гука

При деформации тела его точки перемещаются, при этом изменяются расстояния между точками и углы между отрезками, соединяющими эти точки. Обозначим линейные перемещения точки вдоль осей соответственно Оx,Оy,Оz через u, v, w. На рис. 5.1 слева изображен прямоугольный параллелограмм, вырезанный вокруг некоторой точки тела с длинами сторон dx, dy, dz. После деформации длины его сторон изменятся: , , . Поменяются и углы между сторонами соединяющими, например, точки и (рис. 5.1 справа); здесь - угол сдвига.

 

Рис.5.1. К нахождению составляющих тензора деформации

 

Деформированное состояние в точке тела характеризуется совокупностью относительных линейных и угловых сдвиговых деформаций , , по всем декартовым направлениям Оx,Оy,Оz, проходящим через данную точку тела.

Покажем, как определяются компоненты относительных линейных и угловых деформаций на примере плоского случая деформирования элемента (рис. 5.2). Пусть плоский элемент ABCD под действием нагрузки перемещается (за счет общей деформации тела) в пределах плоскости и деформируется (изменяет размеры и форму), трансформируясь в элемент . Координаты точек элемента до и после его деформирования показаны на рис. 5.2.

По определению относительная линейная деформация в точке A по направлению оси Ox равна

 

, (5.1)

 

где элементарные длины отрезков а определяется по формуле

 

(5.2)

В случае малых деформаций и квадратными членами в (5.2) можно пренебречь. Раскладывая оставшуюся часть подкоренного выражения в биноминальный ряд и удерживая первые два члена, будем иметь

 

. (5.3)

 

Подставляя (5.3) в (5.1), получаем

. (5.4)

 

 

Рис. 5.2. К нахождению составляющих тензора деформации

 

Из рис. 5.2 видно, что угловая деформация равна

 

. (5.5)

В случае малых деформаций и учитывая, что , имеем

 

, (5.6)

 

.

 

С учетом (5.6) выражение (5.5) окончательно принимает форму

 

. (5.7)

 

Обобщая аналогичные выкладки на общий случай трехмерной деформации, имеем

 

(5.8)

.

 

Соотношения (5.8) носят название соотношений Коши.

Три линейных и шесть угловых , , , , , деформаций образуют тензор деформаций

 

. (5.9)

 

Тензор (5.12) полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений, так как строится в рамках закона взаимно однозначного соответствия между напряжениями и деформациями, т. е. в рамках закона Гука.

 

 

5.2. Закон парности касательных напряжений при объемной деформации

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда, являются независимыми. В этом легко можно убедиться, составив уравнения моментов для выделенного плоского элемента (рис. 5.3). Составим уравнение моментов относительно оси О z - точки (рис. 5.3):

 

тогда (5.10)

 

 

Рис. 5.3. К выводу закона парности касательных напряжений

 

Отсюда следует

. (5.11)

 

Аналогично для 2-х других уравнений можем найти

 

; . (5.12)

 

Итак, равенства ; ; называются законом парности касательных напряжений.

Он гласит: касательные напряжения на двух любых взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и направлены либо оба к линии пересечения, либо от нее.

 

5.3. Обобщенный закон Гука для изотропных тел

Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

Одноосное напряженное состояние. Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Одноосное напряженное состояние

Тензор напряжений в этом случае будет иметь вид

 

. (5.13)

 

При таком нагружении направление действия напряжения будет характеризоваться линейной деформацией, пропорциональной величине напряжения

 

, (5.14)

где Е — модуль упругости .

Соответствующие деформации по направлениям 2 и 3 обозначим через и , причем они будут отрицательны при >0 и пропорциональны

 

, , (5.15)

где μ - коэффициент Пуассона.

 

Трехосное напряженное состояние. При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям (рис. 5.5), когда отсутствуют касательные напряжения, тензор напряжений будет

. (5.16)

Рис. 5.16. Трехосное напряженное состояние. Главные площадки

 

Используя принцип суперпозиции, можно записать

 

,

 

, (5.17)

 

.

 

С учетом формул типа (5.14), (5.15) зависимости (5.17) примут вид

 

,

, (5.18)

.

 

Соотношения (5.18) справедливы для главных направлений (главных площадок). Доказано, что они справедливы для любых трех взаимно перпендикулярных направлений.

.

,

, (5.19)

.

Это и понятно, так как при малых деформациях скос (сдвиг), вызываемый касательными напряжениями, не влияет на изменение длины отрезков. Поэтому зависимости (5.19) выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Связь между деформациями сдвига и касательными напряжениями. Угловая деформация (деформация сдвига) обусловлена касательным напряжением. Так, например, деформации , обусловлены касательными напряжениями, соответственно , .

Соответствующие касательные напряжения и угловые деформации для линейно-упругого изотропного тела связаны зависимостями

 

, (5.20)

 

где G — модуль сдвига.

Между E и G для изотропных материалов существует связь

.

Объемная деформация. Пусть параллелепипед со сторонами (рис. 5.7 а) после нагружения изменил свои размеры (рис. 5.7 б).

 

 

Рис. 5.7. К определению объемной деформации

 

Объем параллелепипеда до деформации был , а после деформирования составил:

.

Последнее выражение представим в виде:

 

.

Относительное изменение объема при пренебрежении произведениями величин , и т. д., как величинами второго порядка малости равно:

. (5.21)

 

С учетом (5.19) выражение (5.21) примет форму:

 

. (5.22)

 

Для случая гидростатического сжатия: (p ¾ равномерное давление) соотношение (5.22) предстанет в виде

. (5.23)

 

Величина — называется модулем объемной деформации.

При (предельное значение) изменения объема не происходит, это так называемые несжимаемые материалы.

Из опытов следует, что для всех известных материалов ; для конструкционных материалов .

5.4. Потенциальная энергия упругой деформации

В общем случае нагружения тела по граням его элемента (параллелепипеда) с размерами ребер , , , вырезанного вокруг произвольной точки тела, будут действовать нормальные , , и касательные напряжения , , . Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела, будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента нормальных , , и касательных сил , , соответственно на удлинениях ребер параллелепипеда , , и перемещениях граней параллелепипеда , , .

Рассмотрим вначале элементарный объем в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.8 а). Сила совершает элементарную работу при увеличении напряжения от нулевого уровня до значения на перемещении , пропорционально заштрихованной площади на рис. 5.8 б.

. (5.24)

При отсутствии потерь энергии при нагружении в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования тела

. (5.25)

 

Рис. 5.8. К определению потенциальной энергии деформации

 

Удельная потенциальная энергия, накопленная в единице объема элемента, будет

. (5.26)

В частном случае чистого сдвига в плоскости , изображенной на рис. 5.9 а, сила совершает работу на перемещении .

Соответствующая этому случаю нагружения удельная потенциальная энергия деформации равна (рис. 5.9 б)

. (5.27)

В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь

. (5.28)

Выражая деформации в (5.28) через напряжения с помощью обобщенного закона Гука (5.19), окончательно имеем

 

Рис. 5.9. К определению потенциальной энергии при сдвиге

 

(5.29)

или в главных напряжениях

. (5.30)

Ранее было показано, что объемное напряженное состояние всегда можно представить как сумму напряженных состояний, одно из которых характеризует объемную деформацию элемента тела, а второе - изменение его формы. Удельную потенциальную энергию также можно представить в виде суммы

, (5.31)

где , — части удельной потенциальной энергии , пошедшие на изменение, соответственно, объема и формы выделенного элемента в окрестности исследуемой точки.

Найдем сначала удельную потенциальную энергию изменения объема элемента . При этом изменение объема элемента будет происходить при всестороннем его растяжении под действием на гранях напряжения . Поэтому для определения надо в (5.29) подставить вместо , , и положить , тогда

(5.32)

или

. (5.33)

Удельную потенциальную энергию формоизменения проще найти как разность .

 

(5.34)

Заменяя в (5.34) на и проводя преобразования, получаем

(5.35)

или

. (5.36)

В случае всестороннего равномерного сжатия энергия формоизменения элемента , то есть происходит изменение только объема элемента при неизменной его форме.