Основные определения. Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом существенно следующее:

· Стремление к минимизации общего числа опытов,

· Одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам,

· Использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора,

· Выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии эксперимента.

 

(Пример о поиске оптимального положения канала на зеркале матрицы с использованием метода полного перебора. При этом можно значительно сократить время расчета при использовании ПЭ).

Встает вопрос – когда можно и нужно применять планирование эксперимента. Можно ответить так: там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении – ПЭ.

Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов – это примеры задач, где применяется ПЭ.

(Пример построения интерполяционной формулы – установление связи между прямым рабочим пояском и пояском с углом торможения.)

Эксперимент, который ставится для установления связи между факторами называется интерполяционным.

(Пример оптимизационной задачи при литье Аl сплавов при использовании покровных флюсов (это флюс, который насыпается сверху на расплав и извлекает металл из пены). Оптимизируется – выход годного установки, а варьируемые факторы – тип и количество флюса, время выдержки в печи, температура плавления.)

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации называется экстремальным.

Дадим определение еще и такому понятию как Объект исследования. Для описания объекта исследования удобно пользоваться представлением о кибернетической системе, которую называют «Черным ящиком» (рис.1).

 

 

Стрелки справа – изображают численные характеристики целей исследования. Обозначим их у (игрек) и назовем их Параметрами оптимизации. Читая литературу, можно обнаружить другие названия: критерий оптимизации, целевая функция.

Для проведения эксперимента необходимо надо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия обозначим буквой х (икс) и назовем Факторами. (Иногда их называют входами черного ящика).

При решении задачи будем использовать Математические модели объекта исследования. Под Математической моделью будем понимать уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так:

У=f(Х₁, Х₂, Х₃, …,Х_к), где символ (f) заменяет слова «функция от».Такая функция называется Функцией отклика.

Рассмотрим, как проводится эксперимент.

Каждый фактор может принимать одно или несколько значений. Такие значения называются Уровнями. Реально, на практике, всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы получим множество состояний «черного ящика». Одновременно это будет число возможных различных опытов. Число различных состояний определяется по формуле Р_к, где Р – число уровней (оно одинаково для всех факторов), к – число факторов.

(Пример: система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний).

В реальных условиях просто нельзя провести такое количество экспериментов. Здесь-то и приходит на помощь ПЭ.

Параметры оптимизации

В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть весьма разнообразны: экономические (прибыль, себестоимость, рентабельность), технико-экономические (производительность, надежность, долговечность), технико-технологические (выход продукта), и другие (статистические, психологические). При этом движение к оптимуму возможно, если выбран один параметр оптимизации. Тогда другие параметры процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями. Второй вариант – это строят некий обобщенный параметр оптимизации как функцию от множества исходных.

Итак, параметр оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, т.е. задаваться числом. Мы должны уметь измерять его при любой возможной комбинации выбранных факторов. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется Областью его определения. Они могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными.

(Например, выход годного при литье – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью его определения)..

(А вот выход годного при прессовании изделий – параметр с дискретной ограниченной областью определения).

Параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Это может быть показание прибора (скорость прессования), иногда результат расчета (величина обжатия в клети прокатного стана).

Следующее требование - однозначность. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации. (Однако, обратное неверно. Одному значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов.)

И главное требование - Параметр оптимизации действительно должен оценивать эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле. Представление об эффективности не остается постоянным в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов.

Кроме того, что параметр должен быть эффективным, он должен быть эффективным в статистическом смысле. Это требование фактически сводится к выбору параметра оптимизации, который определяется с наибольшей возможной точностью. Если же и эта точность недостаточна, то приходиться увеличивать число повторных опытов.

Желательно, чтоб параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычислялся. Требование физического смысла связано с дальнейшей интерпретацией результатов эксперимента.

Существует еще одно требование к параметру оптимизации – требование универсальности или полноты. Под универсальностью понимается способность параметра всесторонне характеризовать объект. Чаще всего универсальностью обладают обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функция от нескольких частных параметров.

Несколько слов о задачах с несколькими параметрами оптимизации.

Факторы

Рассмотрим способы воздействия на оптимизируемый объект, которые были названы факторами.

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Каждый фактор (как и параметр оптимизации) имеет область определения. Фактор считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Область определения может быть непрерывной, а может быть дискретной. Однако в задачах ПЭ мы всегда рассматриваем только дискретные уровни определения, а для факторов с непрерывной областью определения (время, температура и т.д.) выбираются дискретные множества уровней.

На практике, области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный или технический (экономический) характер.

Пример первого типа ограничения: температура – нижний предел – абсолютный ноль, скорость – нижний предел – ноль, верхний – скорость света, количество примесей – нижний предел – ноль %, верхний – 100%.

Пример второго типа ограничения: время, температура, скорость ведения процесса, стоимость исходного сырья, конкретные условия проведения эксперимента и т.д.

Факторы могут быть количественными величинами и качественными. Первые – можно измерять количественно, а вторые – это некоторые переменные, характеризующие качественные свойства (разные вещества, технологические способы, исполнители и т.д.)

Для использования качественных факторов производят их кодирование, т.е. строят условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда.

Пример: расположение слитков в печи для нагрева перед прокаткой.

К факторам предъявляются определенные требования:

1.Факторы д.б. управляемы, т.е. выбрав нужное значение фактора, мы можем поддерживать его постоянным в течение всего опыта. В этом собственно и состоит особенность активного эксперимента.

2.Факторы д.б. однозначны.

3.К совокупности факторов предъявляется требование совместимости – это означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны.

4.Независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов.

Примеры:?????

 

Лекция 12

Планирование эксперимента (продолжение).

Выбор зависимости для построения математической модели.

Мы говорили, что под моделью мы понимаем вид функции отклика у = F (х1,х2,х3,…)

Выбрать модель – это значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Но возникает вопрос – как выбрать уравнение? Чтобы выбрать модель (уравнение), надо понять, что мы хотим от модели, какие требования мы к ней предъявляем. Для выработки требований проведем некоторые рассуждения.

Для наглядности рассмотрим геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Рассмотрим случай с 2-мя факторами. Для изображения геометрически возможного состояния «черного ящика» с двумя входами необходимо на плоскости в декартовой системе координат по одной оси отложить значения (уровни) одного фактора, а по другой оси – другого. Тогда каждому состоянию ящика будет соответствовать точка на плоскости (Рис. 5.1). Пунктирными линиями обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения. Х1мин, Х1мах, Х2мин, Х2мах – это минимальные и максимальные возможные значения каждого фактора.

X₁

X₁max

X₁min

X₂