ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задача №1

Дана таблица значений функции . Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента .

X	3.50	3.55	3.60	3.65	3,70
Y	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447	3.57

 

Решение. Часто приходится рассматривать функции , заданные табличными значениями . Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получение может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости ее использование в практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию , заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией так, чтобы отклонение от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

. (1)

При этом коэффициенты подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и другие.

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке ), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция , т.е.

, . (2)

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т.е. при .

Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена , где -число узлов, -степень многочлена. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

(3)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале аргумента . Коэффициенты многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).

Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего отрезка . Пусть для функции заданы значения таблично заданной функции для равноотстоящих значений независимой переменной: , , где шаг интерполяции.

				…
				…

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка определяется формулой:

,

где и .

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

;

Аналогично для любого можно записать:

.

Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле :

.

Для функции , заданной таблицей своих значений в узлах , конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

(4)

где .

Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, что разности вычисляются через значения функции , причем . Поэтому при больших значениях мы не можем вычислить разности высших порядков . Например, при в (4) можно учесть только , и .

Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (таблица 1):

 

 

Таблица 1

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972 ------	0.087 0.092 0.095 ------ ------	0.005 0.003 ------ ------ ------

 

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем . Приняв , , будем иметь:

или

где

Подставим в выражение для вместо значение .

Получим

Тогда, Следовательно,

 

Задача №2

Задание. Дана таблица значений функции . Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений и

1) линейную функцию ;

2) квадратичную функцию .

Построить графики этих функций.

 

X	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
Y	0.31	0.82	1.29	1.85	2.51	3.02

 

Решение. Пусть для неизвестной функции в точках экспериментальным путем получены значения . Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию с помощью более простой функции . При этом требуется выполнение в узлах интерполяции равенства (). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную формулу (), пригодную для большего отрезка . При этом точность приближения может оцениваться по разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение

().

В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции многочленом , который имеет не слишком высокую степень и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена от функции принимается их среднее квадратичное отклонение

.

Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене подобрать коэффициенты так, чтобы минимизировать Так как коэффициенты выступают в роли независимых переменных функции , то необходимым условием минимума является равенство нулю всех частных производных , , …, . Приравнивая нулю эти частные производные получим систему уравнений

После преобразования система принимает вид

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение .

1) Аппроксимируем таблично заданную функцию линейной .

Составим систему для определения

Предварительно вычисляем , , , Следовательно,

Решая эту систему, находим и : , .

Искомый многочлен .

2) Аппроксимируем таблично заданную функцию квадратичной функцией .

Составим систему для определения

Предварительно вычисляем

,

,

,

,

, ,

Получим систему уравнений вида

Решая эту систему, находим , и : , , .

Искомый многочлен

 

Задача №3

Задание. Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.

Решение. Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Введя в рассмотрение матрицы

, , .

 

систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

. (2)

Предполагая, что диагональные коэффициенты , разрешим первое уравнение системы (1) относительно , второе – относительно и т.д. Тогда получим эквивалентную систему

(3)

где , при

и при Введя матрицы

, ,

систему (3) можем записать в матричной форме

. (4)

Для решения системы (4) применим метод последовательных приближений. За начальное приближение принимаем, например, столбец свободных членов .

Далее, последовательно строим матрицы-столбцы

, ,…., , …

Если последовательность приближений имеет предел

,

то этот предел является решением системы (4) и, cледовательно, решением равносильной системы (1).

Для того чтобы процесс итераций сходился к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения, необходимо выполнение для приведенной системы (3) по меньшей мере одного из условий (достаточное условие сходимости метода итераций)

или

.

Приведем заданную систему уравнений к виду (3)

В качестве начального приближения возьмем систему чисел ; ; .

После первого шага получим:

После второго:

Дальнейшие вычисления располагаем в таблице 2:

Таблица 2

	1.2000 1.2000 0.9640 1.0098 0.9975 1.0007 0.9998	0.0000 1.0600 0.9440 1.0104 0.9966 1.0009 0.9997	0.0000 1.1600 0.9480 1.0144 0.9960 1.0012 0.9997

 

 

Точное решение () практически достигается на 6-ой итерации.

Задача №4

Задание. Отделить корни и найти приближенное решение заданного уравнения с точностью методом Ньютона (1) и методом итераций (2).

 

1) ; 2) .