Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

где т — суммарная масса тела; а_с — ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

 

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами Δm_k. Каждая точ­ка движется по окружности радиуса r_k c касательным ускорением а_k^t = εr_k и нормальным ускорением

где ε — угловое уско­рение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вра­щения должна быть равна нулю:

где Mz — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F_инkⁿ равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величина

называется моментом инерции тела относи­тельно оси вращения и обозначается

В результате получим выраже­ние основного уравнения динамики вращающего тела:

где Mz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угло­вое ускорение тела.

 

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [Jz\ = [тг2] = кг-м2.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределе­ния массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.