Колебания двух связанных маятников

Для одного несвязанного маятника или для двух связанных маятников, отклоненных на одинаковые углы в одну сторону справедливо основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

I e = mgrφ, (1)

где mglφ – момент силы тяжести, I – момент инерции, – угловое ускорение. Решение этого уравнения известно

φ (t) = φ_max cos ω₀t,

где ω₀² = mgl/ I

Два маятника, связанные пружиной, которые могут совершать колебания в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса этих маятников, являются системой с двумя степенями свободы, т.к. состояние системы полностью описывается двумя независимыми параметрами – углами φ₁ и φ ₂ отклонения маятников.

 

 

Рисунок 1. Системы связанных маятников

 

Если маятники вначале отклоняют в одну сторону и отпускают (рис.1, а), то пружинка не деформируется и не влияет на синхронные (с равным периодом) и синфазные (в одинаковых фазах, "в такт") колебания обоих маятников. Частота этих колебаний обычна . Это частота так называемой первой нормальной моды связанных колебаний маятников (нормальной модой называют "чистую" гармонику, т.е. гармоническое колебание с постоянной амплитудой и неизменной частотой). Если маятники вначале отклонить в разные стороны и отпустить (рис.1, б), то колебания будут происходить в противофазе (встречно). При этом пружинка максимально деформируется, производя дополнительную упругость в системе, дополнительную возвращающую силу. Дополнительная упругость приводит к увеличению частоты колебаний, поэтому такие колебания происходят с частотой ω₀₂>ω₀₁; ω ₀₂ - это частота второй нормальной моды.

Если маятники вначале отклонить на разные углы и отпустить (рис.1, в), то пружинка будет деформироваться в разные моменты времени по-разному: от нулевого растяжения (случай 1 а) до максимального (случай 1 б). Результирующее колебание представится суперпозицией двух колебаний: с частотой ω₀₁, и с частотой ω₀₂ - так реально возникают биения двух нормальных мод колебаний).

Поведение связанных маятников интересно рассмотреть с энергетической точки зрения. Если при t=0 вся энергия была сосредоточена в маятнике 1, а маятник 2 покоился (рис.1, в), то с течением времени в результате связи через пружинку энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не окажется в маятнике 2 (при этом маятник 1 остановится). Затем процесс обмена энергии повторяется от маятника 2 к маятнику 1 и так далее - происходят биения. Таким образом, биения сопровождаются процессом обмена энергией между двумя гармоническим осцилляторами (колебательными системами, в рассмотренном примере - маятниками) с близкими собственными частотами.

Рисунок 2. Схема связанных маятников (φ₁ ≠ φ₂)

 

Рассмотрим систему связанных маятников, отклоненных в разные стороны (колебания «в противофазе») рис.2. Приняты следующие обозначения: m – масса одного маятника без учета массы пружины; r – расстояние от центра масс маятника до точки подвеса; d – расстояние от точки прикрепления пружины до точки подвеса; φ₁ и φ₂ – углы отклонения от положения равновесия первого и второго маятника соответственно. Относительно точки подвеса вращательные моменты создают две силы: сила тяжести и сила упругости соединительной пружины F_упр = –кΔх, к – жесткость пружины. Моменты этих сил соответственно равны:

Так как х₁ и х₂ – отклонения точек прикрепления пружины от своего положения равновесия (рис.2), то деформация пружины и момент силы упругости .

С учетом сказанного уравнения движения маятников можно записать в виде:

 

)

) (2)

 

Введем коэффициент связи системы . Тогда по (2) получаем:

(3)

Напомним, что эти уравнения справедливы при малых углах отклонения маятников. Решение системы (3) определяется начальными условиями. В лабораторной работе могут быть использованы три случая.

1. Маятники отклонены на одинаковый угол в одну сторону (колебания «в фазе»). В этом случае пружина не деформируется, упругой силы и ее момента нет, оба маятника колеблются с одинаковой частотой ω₀ = ω₀₁= ω₀₂. В системе (2) φ₁ = φ₂= φ, φ₁ – φ₂ =0, и оба уравнения системы (2) превращаются в

2. Маятники отклонены в разные стороны на одинаковый угол (колебания «в противофазе»). В этом случае в начальный момент φ₂ = -φ₁ и φ₂ – φ₁=2φ. Для обоих маятников будут одинаковые уравнения:

 

Откуда

 

 

Т.е. маятники и в этом случае совершают гармонические колебания с частотой

или

 

 

Обратите внимание, что в этом случае частота колебания маятников больше, чем частота их колебаний в несвязанном состоянии. Переходя от углов к смещению маятников от положения равновесия х, уравнение колебаний маятников имеют вид:

 

3.Биения связанных маятников

Удержим один из маятников в вертикальном положении (φ = 0), а другой отклоним на угол φ, в момент t = 0 отпустим маятники. Получаем начальные условия φ₁ = 0, φ₂ = φ, φ₂ - φ₁ = φ. Тогда решение системы (2) будет в виде

(4)

 

Т.о., при биениях каждого маятника частота колебаний близка к собственной частоте каждого маятника (ω₀₁ + ω₀₂)/2, а частота биений определяется силой связи маятников D.