Ряды и коэффициенты Фурье

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движение поршня в двигателях, распространение электромагнитных колебаний и т.п. Периодические процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена.

Тригонометрические ряды были введены Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны.

Формулы, выражающие коэффициенты ряда через данную функцию, были даны французским математиком Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Фурье систематически пользовался тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности.

Итак, простейший периодический процесс – гармоническое колебание – описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида и .

Рассмотрим функциональный ряд вида

(1)

Такой ряд называется тригонометрическим рядом.

Так как члены тригонометрического ряда (1) имеют общий период , то и сумма ряда, если он сходится, будет также периодической функцией с периодом .

Если периодическая функция является суммой равномерно сходящегося на сегменте тригонометрического ряда (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

, , .

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Эйлера-Фурье.

Определение. Тригонометрический ряд

,

коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера-Фурье, называется рядом Фурье, соответствующим функции .

Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента . Если – сумма этого ряда, то во всех точках непрерывности этой функции

= ,