Решение уравнения колебаний струны методом Фурье

Найдем решение уравнения

, (1)

в области , удовлетворяющее следующим условиям

(2)

(3)

Суть метода Фурье или метода разделения переменных заключается в отыскании решения задачи (1)-(3) в виде

(4)

Будем искать нетривиальные решения, т.е. , удовлетворяющие граничным условиям

,

для всех .

Отсюда

(5)

Подставляя функцию (4) в уравнение (1), получим

или

.

Функция от равна функции от , только если обе они равны постоянному числу. Обозначим его через , т.е.

.

Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

(6)

(7)

Найдем значения , при которых задача имеет нетривиальное решение. Если такие решения существуют, то называют спектром, а сами функции – собственными функциями задачи.

Составим характеристическое уравнение для уравнения (6):

Если , то .

Пусть , тогда общее решение уравнения (6) имеет вид

.

Найдем и , используя условие (5):

Пусть , тогда

.

Отсюда

.

– собственные значения, – собственные функции – решения уравнения (6).

Общее решение уравнения (7) при найденных можно записать в виде

.

Тогда решение уравнения (1) имеет вид

.

Тогда и любые суммы есть решение уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (5)

Если ряд равномерно сходится в области и его можно почленно дифференцировать по и дважды, то он является решением уравнения (1), т.е.

(8)

Определим коэффициенты и , используя начальные условия (3):

(9)

(10)

Формулы (9) и (10) представляют собой разложения функций и по синусам на отрезке .

Коэффициенты разложения определяются по формулам

(11)

Итак, решение задачи (1)-(3) определяется рядом (8), коэффициенты которого определяются по формулам (11).

Пример. Решить уравнение колебания струны методом Фурье.

Решение. Находим

.

Интеграл берем по частям; , , , ; следовательно

.

Тогда

.

В результате получим . Находим

.

Окончательно получим .

Таким образом, искомая функция имеет вид

.●