Матричная запись системы линейных уравнений

AX = B,

где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.

Критерий совместности линейных уравнений

Система совместна тогда и только тогда, когда rank A = rank D.

 

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂,..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n, x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k, i=n-1, n-2,...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

1. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

к ступенчатому виду

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

o перестановка строк;

o умножение строки на число, отличное от нуля;

o сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

1. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица
   ,
   последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть функция определена в окрестности и для любого > 0 найдётся такое , что

, лишь только

тогда говорят, что — бесконечно малое порядка .

Пусть — вещественнозначная функция, заданная на отрезке . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале , если

для любого и любого . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке функции образуют кольцо гладких функций .

Коэффициенты

Эти функции называют производными функции . Первая производная может быть вычислена как предел

.

Оператор, сопоставляющий функции её производную обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно

и

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.