Пример решения задачи 2

 

Выбрав свой вариант задачи 2 по табл. 3 и выписав исходные данные, формулируем конкретное условие задачи.

Например:

Определить по критериям Гурвица и Михайлова устойчивость САУ, состоя­щей из трёх последовательно соединённых звеньев А, Е и Ж, третье звено охва­чено местной отрицательной обратной связью (четвертым звеном М). САУ ох­вачена главной отрицательной обратной связью с коэффициентом k_гос= -1.

1. Определяем передаточные функции звеньев САУ.

Из табл.4 берем исходные данные.

Звено 1 - А (безынерционное):

y(t)=kx(t);

Y₁(P)=k₁X₁(p);

W₁ (p)=Y₁(p)/X₁p=k₁; k₁=10.

Звено 2-Е (интегро-дифференцирующее):

 

Звено 3 - Ж (инерционное 2-го порядка):

 

Звено 4 - М (звено корректирующей отрицательной обратной связи):

y(t)=k_КОСx(t);

2. Составляем структурную алгоритмическую схему САУ (рис.4).

3. Определяем передаточную функцию прямой ветви САУ (см.рис.4):

Wn(p) = W₁(p) W₂(p) W_3кос(p),

где передаточная функция третьего звена, охваченного корректирующей (ме­стной) отрицательной обратной связью, определяется в виде:

W_3кос = W₃(p)/[1 + W₃(p) W_кос(p)].

Подставляя соответствующие выражения передаточных функций звеньев с учетом численных значений коэффициентов k_t и постоянных времени T_i получим:

 

4. Определяем передаточную функцию замкнутой САУ:

 

 

5. Вычисляем характеристическое уравнение замкнутой САУ G(p)=0:

 

Подставляя значения передаточных функций и , получим после преобразований:

G(p)=5p³11p²+107p+85=0.

 

Рис 4 Структурная алгоритмическая схема САУ (к задаче 2).

 

Рис.5 - Годограф Михайлова САУ (к задаче 2).

6. Определяем устойчивость по критерию Гурвица.

Исследуемая САУ имеет характеристическое уравнение 3-й степени:

а₀р +a₁p²+a₂p+a₃=0

Матрица Гурвица будет иметь вид:

 

Поскольку все коэффициенты характеристического уравнения положительны а₀=5>0; a₁=11>0; а₂=107>0; а₃=85>0

и определитель ∆₂=a₁a₂ - а₀а₃=11·107-85·5=752>0, то исследуемая САУ устой­чива.

7. Определяем устойчивость по критерию Михайлова.

Для полученного характеристического уравнения комплексный многочлен имеет вид:

G(jω)=5(jω)³+11(jω)²+107jω+85.

Разделим многочлен G(jω) на действительную Re[G(jω)] и мнимую Im[G(jω)] части:

G(jω)=Re[G(jω)] +Im[G(jω)] =R(ω) +jJ(ω),

имея ввиду, что

G(jω)=85-11ω²+ jω(107-5 ω²)= R(ω)+Jj(ω).

Задаваясь различными значениями частоты ω, найдем координаты R(ω) и

J(ω) точек годографа Михайлова. Вначале находим значения для характерных точек (при J(ω))=0 и при R(ω)=0).

Годограф пересекает ось абсцисс, если J(ω)=ω (107-5ω²)=0. Решение этого уравнения дает действительные корни: ω₁=0; ω₂=4,6. Находим значения ω, при которых годограф пересекает ось ординат:

R(ω)=85-11ω²=0.

Это уравнение имеет один действительный корень ω₃=2,78. Задаваясь несколькими промежуточными значениями частоты ω, вычисляем значения R(ω) и J(ω). Результаты сводим в табл. 5

 

Таблица 5

Координаты точек годографа Михайлова

 

ω				2,78		4,6
R(ω)					-91	-146	-190
J(ω)							-90

 

По полученным точкам строим годограф Михайлова (рис.5). Так как при из­менении частоты от 0 до ∞ годограф Михайлова, вращаясь в положительном направлении против часовой стрелки, начинается на положительной части веще­ственной оси, последовательно проходит три квадранта и не пересекает начала координат, то анализируемая система третьего порядка устойчива.

Вывод. Проверка по двум критериям (Гурвица и Михайлова) показала, что исследуемая САУ устойчива.

 

Литература

1. Бородин И.Ф., Недилько Н.М. Автоматизация технологических процессов. - М.:Агропромиздат, 1986.

2. Бородин И.Ф., Кирилин Н.И. Основы автоматики и автоматизации произ­водственных процессов, - М.:Колос, 1977.

3. Автоматика и автоматизация производственных процессов: Учебное посо­бие/Под ред.И.И. Мартыненко. - М.:Агропромиздат, 1986.

4. Бохан Н.И., Бородин И.Ф. и др. Технические средства автоматики и теле­механики. - М.:Агропромиздат, 1992.

5. Бородин И.Ф. Технические средства автоматики. - М.:Колос, 1982.

6. Элементы и устройства сельскохозяйственной автоматики.:Справоч. посо­бие /Под ред. Н.И. Бохана. - Минск. 1983.

7. Яницкий С.В. Применение электроэнергии и основы автоматизации произ­водственных процессов. - М.:Колос, 1977.