Теоремы о предельном переходе в неравенствах

Теорема. Если функция f (x) определена в некотором промежутке, содержащем точку х0, и имеет положительный (отрицательный) предел при x →x₀, то найдется такая окрестность точки х0, в которой функция положительна (отрицательна).

Теорема. Если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f1(x)> f2(x) и функции f1 и f2 имеют пределы при x →x₀ , то

Lim _{x →x0} f1(x) ≥ lim _{x →x0} f2(x).

Теорема (теорема о «зажатой» функции или о «двух милиционерах»). Если функции u(x), y(x), v(x) связаны в окрестности точки х₀ соотношением u(x) ≤ y(x) ≤ v(x) и

Lim _{x →x0} u(x)=А, Lim _{x →x0} v(x)=А, то Lim _{x →x0} y(x)=А.

Теорема Если функция f(x) в некоторой окрестности точки х₀ монотонно возрастающая (убывающая) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

Теорема Если функция f(x) – элементарная и определена при x = x₀, то Lim _{x →x0} f(x)= f (Lim _{x →x0} х).

Основные теоремы о пределах функции

Теорема Lim _{x →x0} const =const.

 

Теорема Lim _{x →x0} с* f1(x)= c * Lim _{x →x0} f1(x) = c*A.

 

Теорема Lim _{x →x0} (f1(x) +\- f2(x))= Lim _{x →x0} f1(x) +\- Lim _{x →x0} f2(x)= A+\- B.

 

Теорема Lim _{x →x0} f1(x) * f2(x) = Lim _{x →x0} f1(x) * Lim _{x →x0} f2(x) =A*B

 

Теорема. Lim _{x →x0} f1(x) \ f2(x) = Lim _{x →x0} f1(x) \ Lim _{x →x0} f2(x) = A\B, если В не равно 0.

Неопределенные выражения

Определение. В результате предельного перехода в равенствах могут быть получены выражения вида (0\0), (∞/∞), (1 ^∞), (∞-∞), (0*∞).Такие выражения называются неопределёнными.

 

Первый замеч-й предел

Теорема. Lim _{x →0} sinx \ x=1.

Следствия:

1. Lim _{x →0} х \ sinx = 1.

2. Lim _{x →0} sinkx \ x = k.

3. Lim _{x →0} tgmx \ x = m.

4. Lim _{x →0} arcsin mx \ x = m.

Замечание. Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида (0\0), содержащих тригонометрические функции.

Lim _{x →0} cosx \ x = ∞.

 

Число е. второй замеч-ный предел

Теорема Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.

Теорема. Lim _{h →0} ln(1+h) \ h =1.

Следствия:

1. Lim _{h →0} (1+h) ^1\h = e

2. Lim _{y →0} (1+ 1\y)^y= e

 

33.

1. Lim _{x →0} (1+kx)^1\x = e^k

2. Lim _{x →∞} (1+k\x) ^x =e^k

3. Lim _{x →0} (log_a(1+x) \ x) = log_ae

4. Lim _{x →0} (a^x -1 \ x)= ln a

5. Lim _{x →0} (e^x -1 \x) =1.

6. Lim _{x →0} ((1+x) ^α -1 \ x) = α.

34. Пределы от функции

При вычислении пределов вида полезно помнить:

1. Если где А и В – конечные чис-

ла, то

 

2. Если то

 

3. Если то

 

4. Если

Неопределённость вида (1¥) раскрывается с помощью числа е.

35. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

 

1. Определение Если предел отношения двух БМФ

равен постоянному числу, то БМФ имеют одинаковый порядок малости.

Если , то (x) и (x)

Назыв-тся эквивалентными бесконечно малыми функциями при

Записывают или

Свойства эквивалентных бесконечно малых величин:

Аналогично сравниваются бесконечно большие функции.

 

Сравнение ББФ

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин(относится к 35 вопросу)

36. Понятие односторонних пределов.