Древние математические тексты и системы счисления

Математические папирусы Древнего Египта были составлены для учебных целей, они содержат задачи с решениями, вспомогательные таблицы и правила действий над целыми числами и дробями, встречаются арифметические и геометрические прогрессии, а также уравнения. Египтяне пользовались десятичной системой счисления. Египетские математические тексты особое внимание уделяют вычислениям и возникающим при этом трудностям, от которых во многом зависят методы решения задач. Египтяне использовали такие арифметические операции как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и деление без остатка проводилось с помощью многократного повторения операции удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали определённые члены последовательности . В Египте нашли применение только аликвотные дроби, или доли единицы (), а все остальные дроби разлагались на сумму аликвотных. При определении площади квадрата, объёма куба, или нахождении стороны квадрата по его площади египтятне сталкивались с возведением в степень и извлечением корня, хотя названия этим операциям ещё не было^[18].

Вавилонские клинописные математические тексты используют шестидесятеричную систему счисления, характерную ещё для шумер, и представляют собой учебные пособия, которые включают таблицы умножения для чисел от до , а также таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел натурального ряда, таблицы вычисления процентов, дроби с основанием . При решении арифметических задач вавилоняне опирались на пропорции и прогрессии. Они знали формулу суммы членов арифметической прогрессии, правила для суммирования геометрической прогрессии, решали задачи на проценты.

Исторически сначала появились понятие дроби, а затем отрицательного числа. Такой же порядок принят в школьном курсе.

Древнейшие греческие математические тексты относятся к XIV—VII веку до н. э. Развитие древнегреческой арифметики принадлежит пифагорейской школе. Они рассматривали только целые положительные числа и определяли число как собрание единиц. Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные, нашли бесконечное множество пифагоровых троек^.В III веке Диофант начал построение алгебры с опорой не на геометрию, а на арифметику. В его работе «Арифметика», содержащей тринадцать книг (до нас дошли только первые шесть), вводятся обозначения неизвестной, её квадрата, куба, а также отрицательных степеней, кроме того, вводится символ для обозначения отрицательного числа, определяются правила выполнения алгебраических операций. Диофант также расширил числовую область на отрицательные числа.

Римская система нумерации была мало приспособлена для вычислений. Римские числовые знаки возникли до появления алфавита и не происходят от его букв. Считается, что первоначально числа от до обозначались соответственным числом вертикальных чёрточек, а их перечёркивание означало удесятерение числа (отсюда число ). Соответственно, чтобы получить число палочку перечёркивали два раза. Впоследствии произошло упрощение системы. В настоящее время она применяется в основном для обозначения порядковых чисел.

Помимо этого в Центральной Америке использовалась узловая нумерация. Существует предположение, что в математических работах майя, датированных V веком до н. э. используется обозначение нуля в виде глаза. Вместе с тем, общепринятым считается, что нуль впервые появился в индийских математических текстах.