Свойства. Арифметические свойстваАддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует. Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела. Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует. Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой. 12. Предел функции. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается);
13. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги». 14.Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x2 + (2x + 3) · ex · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы. Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
15. Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
|