Билет 5

1) Минор n-ого порядка.

2) Ранг матрицы.

Ответ 1. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Однако ув. Глухов показывал нам, что он обозначается как rang A (основной) и rang A (“A” с черточкой наверху – расширенный ранг), позже покажу.

2. Теперь то, что касается ранга матрицы.

Теперь возвращаемся к рангам. Вспоминаем, что ранг – это НАИБОЛЬШИЙ из порядков МИНОРОВ. Всего таких порядков может быть дохуища, все зависит от того, насколько огромна матрица. В данной матрице порядков будет не более 3, но еще неизвестно, сколько из них будут не равны нулю.

Начинаем по порядку. Ищем миноры ПЕРВОГО порядка. Таковым является любое число в матрице.

Таким образом 1,4,5 у меня миноры ПЕРВОГО порядка.

Ищем миноры ВТОРОГО порядка. Это будет пересечение строк и столбцов (т.е. то, что мы рассматривали выше). Найдем минор 3 строки 3 столбца.

Считаем получаем -2 не равное 0.

Дальше рассматриваем минор третьего порядка. Это определитель который мы считали треугольниками.

Видим, что максимальный порядок, т.е. ТРЕТИЙ - НЕ РАВЕН (если бы 3ий порядок был равен нулю, было бы rang=2) нулю, следовательно ранг матрицы = 3 (rang A = 3)

Думаю, с этим понятно. Ну это трудный способом, но эффективный, можно посчитать так. Запоминаем, что РАНГ матрицы соответствует НАИБОЛЬШЕМУ порядку не равному нулю. Т.е. если бы у нас определитель третьего порядка был бы =0, то у нас было бы rang A= 2

Есть еще одна фишка. Можно привести матрицу вида

К треугольной, получим

Видно, что число НЕНУЛЕВЫХ строк, равно 3 => rang = 3 это основной ранг матрицы. Но есть и РАСШИРЕННЫЙ.

Например, если бы у нас была бы матрица:

То расширенным рангом называлась бы область, которая включает все нули (т.е. 4 столбец), но тем не менее видим, что НУЛЕВЫХ строк нет, следовательно ОСНОВНОЙ ранг равен 3 и ранг РАСШИРЕННЫЙ равен 3

Ну понятно, что если 82.799 было бы равно нулю, то ранг был бы соответственно равен 2.

С рангами все, дальше.

 

 

3) Теорема Кронекера–Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).

Ответ Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. . В противном случае система не совместна.

Замечание. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений. (об этом позже, это неопределенности)

Начнем с охуительного примера.

Пример 13. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

Далее умножим вторую строку на -2 и сложим с третьей, а затем сложим третью строку с последней. Имеем

.

Вспомнили как решается матрица методом гаусса? Идем дальше. Нас интересует это:

Выше я объяснял, что такое ранг ОСНОВНОЙ и ранг РАСШИРЕННЫЙ. Так вот, согласно теореме Кронекера-Капелли, данная хуйня будет несовместной, так как rang A (основной) = 3 (т.к. кол-во НЕНУЛЕВЫХ строк равно 3), а rang A (с черточкой над А, расширенный) = 4. Доказывается эта теорема на примере обычной матрицы, думаю ни у кого не составит труда накалякать матрицу и объяснить. Для танкистов, которые еще не поняли ОСНОВНОЙ и РАСШИРЕННЫЙ ранги:

 

4) Определенность-неопределенность

Ответ Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема