Множественное уравнение регрессии.

Важнейший частный случай стат. связи – корреляционная связь. При корреляц. связи разным значениям одной переменной соответствуют различные ср. значения др. переменной, т.е. с изменением значения признака х изменяется ср. значение признака у.

Множественная корреляция – зависимость результат. признака от двух и более факторных признаков.

Матем. корреляц. зависимость результат. переменной от нескольких факторов опис-ся ур-нием множеств. регрессии:

y(x₁,x₂…x_k)= a+b_1.2…kx₁+b_2.13…kx₂+….+b_k.12…k-1x_k

Уравнение множеств. регрессии характ-т ср. изменение y с изменением признаков факторов. При построении уравнения множественной регрессии нужно решить две задачи:

1. Выбрать признаки – факторы, включенные в регрессию.

2. Выбрать тип уравнения регрессии.

Решение 1-ой задачи основыв-ся на рассмотрении матрицы парных коэффиц-тов корреляции и выделении тех переменных, для которых выполняется правило:

Ryx_j > Rx_iy_j (где i≠j)

Кроме того, не рекоменд-ся включать во множеств. регрессию переменные, тесно связанные м-ду собой.

Решение 2-ой задачи основыв-ся на соотношении: чем проще тип ур-ния множеств. регрессии, тем очевиднее интерпретация его параметров, тем лучше для использ-ния регрессии с целью анализа и прогноза.

Параметры множеств. ур-ния регрессии так же, как и в парном уравнении регрессии расчитыв-ся методом наим. квадратов.

å(y_i-a-b₁x₁-b₂x₂-…-b_kx_k)→min

Получаем систему уравнений:

an + b₁åx₁+ b₂åx₂+_…+ b_kåx_k =åy

aåx₁ + b₁åx_i²+ b₂åx₁x₂+…+ b_kåx₁x_k =å yx₁

………………………………………………………

aåx_k + b₁åx₁x_k + b₂åx₂x_k+…+ b_kåx_k² =å yx_k

Отсюда a= y(ср.) - å b_j x_j(ср.)

Коэффиц-ты b_j наз-ся коэфф-ми условно чистой регрессии.

Термин условно-чистая регрессия означает, что каждая из величин измеряет среднее по совокупности отклонение результ. признака от его ср. величины на ед-цу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии не изменяются и не варьируют.

Коэффициенты условно-чистой регрессии явл. именованными величинами, поэтому их преобразуют в сравнимые величины. Полученные показатели наз-т стандартизированными коэфф-ми регрессии ( - коэффициенты). β_j= b_j*σ_xj / σ_y

- коэффициенты показывают на ск-ко отклоняется от своего ср. значения в средних квадратических отклонениях результат. признак y при отклонении факт. признака от своего ср. значения на 1 среднее квадратическое отклонение.

Коэффициенты эластичности показывают на сколько % изменится результ. признак при изменении факторного на 1%:

Э_j= b_j*(x_j(ср.) / y_(ср.))

Коэффициент совокупной детерминации: R²=å Ryx_i β_i

Важно знать вклад каждой объясняющей переменной, он измеряется коэффиц-ми раздельной детерминации:

D_i²= Ryx_i β_i