Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин Х ₁ ,Х ₂ ,…,Х_n.

Для них среднее арифметическое равно

.

Докажем три положения [3]:

1. Математическое ожидание среднего арифметического n взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин

.

Доказательство:

.

2. Дисперсия среднего арифметического n взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

.

Доказательство:

Так как постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат, то

.

3. (следует из п.2), т.е. среднее арифметическое n взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние (в раз), чем каждая отдельная величина.

Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины

Начальный момент порядка r – это математическое ожидание случайной величины Х^r

.

Например, начальные моменты первого и второго порядков равны

ν;₁ =M(X); ν ₂ =M(X ² ).

Центральный момент порядка r задается формулой

,

при этом .

Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию.

Между начальными и центральными моментами существуют соотношения

Следовательно, формула для вычисления дисперсии может быть записана в виде

.