Логические выражения и операции

Логика – это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 1. Истинное высказывание: «Буква «а» - гласная».

Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Основными понятиями алгебры логики являются логический аргумент и логическая функция.

Логическая аргумент – высказывание – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Его символическое обозначение – латинская буква (например, A, B, X, Y и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА или ЛОЖЬ; True (T) или False (F); 1 или 0.

Логическая функция – выражение – это составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение – F (A, B,…).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции – это логическое действие.

Рассмотрим три базовые логические операции – отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

1. Отрицание (операция НЕ – логическое отрицание (инверсия)) – логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. Т.е., р езультатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

- в естественном языке соответствует словам «неверно, что...» и частице «не»;

- в алгебре высказываний обозначение «» или «–»;

- в языках программирования обозначение «Not».

Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности (это таблица, описывающая логическую операцию (функцию)):

A	А

2. Конъюнкция (операция И – логическое умножение (конъюнкция)) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным. Т.е., результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Применяемые обозначения:

· в естественном языке соответствует союзу «и»;

· в алгебре высказываний обозначение «&» «˄», «·»;

· в языках программирования обозначение «And».

Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А ˄B

3. Дизъюнкция (операция ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция)) – это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Для операции отрицания ИЛИ приняты следующие условные обозначения:

· в естественном языке соответствует союзу «или»;

· в алгебре высказываний обозначение « Ú » или «+»;

· в языках программирования обозначение «Or».

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

 

A	B	А или B (А Ú B)

 

4. Операция «ЕСЛИ-ТО» – логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В

· в естественном языке - если..., то...; когда …,тогда; коль скоро…,то и т.п.;

· в алгебре высказываний В; А→ В;

· в языках программирования – if A then…

Таблица истинности:

 

A	B	А → B

 

5. Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.

Таблица истинности:

 

A	B	А↔B