Определение расчетных значений продольных усилий в фермах с помощью линий влияния

Расчетным значением усилия в данном сечении конструкции называется наибольшее по абсолютной величине его значение.

Для определения его необходимо поставить подвижную нагрузку в наиболее невыгодное положение и при этом ее положении определить расчетное значение усилия Z.

Расчетное значение продольного усилия в элементах фермы с помощью линий влияния находится по формуле

, (18)

где Р_i, Т_к – неподвижные и подвижные сосредоточенные нагрузки; у_i, у_к – ординаты линии влияния под неподвижными и подвижными сосредоточенными нагрузками; q – интенсивность погонной нагрузки; – площадь линии влияния под погонной нагрузкой.

Найти наиболее невыгодное положение подвижной нагрузки без линий влияния рассматриваемого усилия затруднительно. Поэтому при наличии подвижной нагрузки расчетные значения усилий целесообразно определять с использованием их линий влияния. Линиями влияния удобно пользоваться и при наличии только неподвижной нагрузки, особенно при исследовании влияния нескольких ее вариантов.

Правила нахождения наиболее невыгодного положения различной подвижной нагрузки с помощью линий влияния приведены в п. 2.5, где рассмотрена подвижная нагрузка, состоящая из двух связанных сосредоточенных грузов, т.е. таких грузов, расстояние между которыми и их направление остаются неизменными.

Такая подвижная нагрузка рассматривается, в частности, при проектировании несущих конструкций грузоподъемных устройств – мостовых кранов, кран-балок, перегрузочных мостов, стрел некоторых поворотных кранов. Нагрузка в этих грузоподъемных устройствах передается через колеса грузовой тележки.

Наиболее невыгодным будет такое положение двух подвижных грузов, при котором:

- один из грузов обязательно должен находиться над вершиной одного из углов ломаной линии, которая изображает линию влияния;

- второй груз должен быть расположен так, чтобы суммарное влияние грузов, равное , было наибольшим по абсолютной величине.

Если таких вершин на линии влияния несколько, то необходимо помещать подвижные грузы поочередно над каждой из этих вершин и каждый раз определять рассматриваемое усилие по формуле, выражающей суммарное влияние неподвижной и подвижной нагрузок. Одно из найденных значений рассматриваемого усилия будет расчетным.

Рис. 38

 

Примеры наиболее невыгодных положений двух одинаковых подвижных грузов показаны на рис. 38.

При движении подвижной нагрузки по несущей конструкции в ее сечениях возникают переменные усилия. При перемещении нагрузки от одного края конструкции до другого происходит полный цикл изменения усилия, в течение которого все возникающие усилия, соответствующие различным положениям нагрузки, расположены между двумя их крайними (экстремальными) значениями Z₁ и Z₂ (рис. 39).

 

Рис. 39

 

Одно из этих значений усилия будет наибольшим по абсолютной величине (о нем шла речь выше).

При большом количестве циклов изменения усилий возникает необходимость в расчете конструкций на усталость. Для этого необходимо знать характеристику цикла нагружения, которая представляет собой отношение меньшего по абсолютной величине экстремального усилия (Z_min) к большему по абсолютной величине экстремальному усилию (Z_max). Оба они при вычислении характеристики цикла принимаются со своими знаками. Следовательно, необходимо определять эти экстремальные значения усилия.

Рассмотрим порядок их определения, имея ввиду два сосредоточенных груза в грузоподъемном устройстве.

При однозначной линии влияния (рис. 40) необходимо:

- поставить подвижные грузы в наиболее невыгодное положение (здесь их влияние наибольшее) и по формуле (18) определить Z₁ = Z_max (при этом подвижные грузы должны соответствовать максимальной расчетной грузоподъемности);

- принять минимальное значение подвижных грузов (они в этом случае соответствуют только весу грузовой тележки и связанных с ней частей грузоподъемного устройства), поставить их в такое положение, где их влияние будет наименьшим, и по формуле (18) определить Z₂ = Z_min.

 

 

Рис. 40

 

При разнозначной линии влияния (рис. 41) необходимо:

- поставить подвижные грузы в наиболее невыгодное положение над положительным участком линии влияния и по формуле (18) определить Z₁ (если такой участок не один, то определить Z₁ для всех положительных участков);

- поставить подвижные грузы в наиболее невыгодное положение над отрицательным участком линии влияния и по формуле (18) определить Z₂ (если такой участок не один, то определить Z₂ для всех отрицательных участков). В обоих случаях принимается наибольшее значение подвижных грузов. Одно из этих значений Z₁ или Z₂ будет Z_max, другое Z_min.

Рис. 41

 

В этом легко убедиться, представив значения усилий Z₁ и Z₂ в виде

Z₁ = А + В_max, Z₂ = А + С_max,

где А – влияние неподвижной нагрузки; В_max – наибольшее влияние подвижной нагрузки со знаком «плюс»; С_max – наибольшее влияние подвижной нагрузки со знаком «минус».

 

Пример 1. Определить экстремальные значения продольных усилий в стержнях 1-3, 2-4, 2-3 фермы, изображенной на рис. 42. Неподвижная нагрузка
Р₁ = 2 тс., Р₂ = 4 тс. Подвижная нагрузка: наибольшее значение Т₁ = Т₂ = 10 т, наименьшее значение Т₁ = Т₂ =0,5 т.

Решение.

Определение усилий целесообразно выполнять с помощью линии влияния. Построим эти линии влияния (рис. 42).

Определение экстремальных значений N_1-3.

Поместим подвижные грузы с их наибольшим значением в наиболее невыгодное положение (а), используя линии влияния N_1-3. Тогда

.

Необходимые ординаты линии влияния N_1-3 равны:

; ; .

Следовательно, тс.

Поместим подвижные грузы с их наименьшим значением в наиболее благоприятное положение (б).

Тогда .

Необходимые ординаты линии влияния N_1-3 равны:

; ; .

Следовательно, тс.

 

Рис. 42

 

Определение экстремальных значений N_2-4.

Поместим подвижные грузы с их наибольшим значением в наиболее невыгодное положение (а), используя линии влияния N_2-4. Тогда

.

Необходимые ординаты линии влияния N_2-4 равны:

; ; .

Следовательно, тс.

Поместим подвижные грузы с их наименьшим значением в наиболее благоприятное положение (б). Тогда

.

Необходимые ординаты линии влияния N_2-4 равны:

; ; .

Следовательно, тс.

 

Определение экстремальных значений N_2-3.

Поместим подвижные грузы в наиболее невыгодное положение (а) над положительным участком линии влияния N_2-3. Тогда

.

Необходимые ординаты линии влияния N_2-3 равны:

; .

Следовательно, тс.

Поместим подвижные грузы в наиболее невыгодное положение (б) над отрицательным участком линии влияния N_2-3. Тогда

.

Необходимые ординаты линии влияния N_2-3 равны:

; ; .

Следовательно, тс.

Таким образом, тс., тс.