Дано сопряжения колеса с валом Æ70 Н7/р6

Виходячи з наведених визначень можна вивести істинне значення вимірюваної величини:

.

Математичне сподівання похибки – це серединне значення, навколо якого групуються можливі значення похибки. Його практичною оцінкою є середнє значення випадкової похибки: . Розмірність математичного сподівання відповідає розмірності похибки.

Поряд з математичним сподіванням результатів спостережень велике значення має дисперсія розподілу результатів спостережень та похибок вимірювань, яка позначається і : .

Дисперсія розподілу випадкових похибок дорівнює дисперсії розподілу результатів спостережень і є мірою їх розсіювання відносно математичного сподівання. Дисперсія розподілу зростає зі збільшенням елементів ймовірності , виникненням великих значень випадкових похибок, тобто зі збільшенням розсіювання результатів спостережень.

Дисперсія розподілу має розмірність квадрата вимірюваної величини, тому вона незручна для користування. Значно частіше в розрахунках використовується позитивне значення квадратного кореня з дисперсії, яке називається середнім квадратичним відхиленням результатів спостережень: .

У практиці вимірювань застосовуються різні закони розподілу випадкових похибок: трикутний, трапецієподібний, прямокутний, симетричний, нормальний. Проте найбільше значення має нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Головна особливість нормального закону розподілу полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при типових для вимірювання умовах, при .

Диференціальна функція нормального закону розподілу (закон Гаусса) описується рівнянням: .

На рис. подано графік нормального розподілу випадкових похибок . Крива розподілу має дзвоноподібну форму і симетрична відносно осі . Максимальна величина ймовірностей дорівнює і досягається у точці 0. В міру віддалення від точки 0 (вліво чи вправо) ймовірність зменшується і поступово наближається до нуля, а ймовірність великих випадкових похибок зростає.

Для диференційної функції розподілу результатів спостережень це рівняння набуває більш загального вигляду: ,

де - математичне сподівання; - середнє квадратичне відхилення результатів спостережень.

Для зручності обробки результатів експериментальних вимірювань слід використовувати диференціальну функцію нормованого нормального розподілу: ,

де - число, рівне відношенню відхилення випадкової величини від математичного сподівання до середнього квадратичного відхилення.

Інтегральна функція цього розподілу визначається такою залежністю:

.

Значення диференціальної функції нормованого нормального розподілу та інтегральної функції цього розподілу наводяться у спец. додатках.

Значне поширення нормального розподілу похибок у практиці вимірювань пояснюється центральною граничною теоремою теорії ймовірностей.

Центральна гранична теорема стверджує, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального кожного разу, коли результати спостережень формуватимуться під впливом великої кількості незалежних причин, кожен з яких справляє лише незначний вплив порівняно із сумарним впливом інших.

Диференційні функції при нормальному законі розподілу результатів спостережень мають дзвоноподібну симетричну форму і забезпечують добре унаочнення про розсіювання результатів вимірювань та випадкових похибок.

При зменшенні середнього квадратичного відхилення межі розподілу результатів звужуються, а вершина дзвону диференціальної функції піднімається вгору. Ймовірність виникнення малих похибок збільшується, а великих - зменшується, тобто зменшується розсіювання результатів вимірювання відносно дійсної величини і зростає точність вимірювання. Чим точніше виконано вимірювання, тим вище підійматиметься крива розподілу випадкових похибок і зменшуватиметься значення середнього квадратичного відхилення.

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.

Довірчі межі випадкових похибок - це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю . Величина називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок (дисперсію) та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв’язків.

При відомому середньому геометричному значенні довірчі межі ставляться за нижньою межею і верхньою межею . Довірчий інтервал має вигляд: , де – середнє арифметичне значення результатів вимірювань.

Залежно від мети та точності вимірювань довірчі межі задаються або і або . Довірчий інтервал значення вимірюваної величини має вигляд .

Значення коефіцієнта розподілу визначається шляхом зворотного інтерполювання інтегральної функції для вибраних довірчих ймовірностей при наведені у табл.

Так, при нормальному розподілі похибок з ймовірністю 0,68, випадкові похибки знаходяться у довірчих межах ; з ймовірністю 0,95 - у межах подвійної середньої квадратичної похибки ; з ймовірністю 0,9973 - у межах (рис.).

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.

Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок і різними значеннями.

Правило , за яким при нормальному розподілі результати спостережень, випадкові похибки яких більші або рівні , можна виключити з ряду результатів, оскільки ймовірність їх появи дуже мала.

 

 

Дано сопряжения колеса с валом Æ70 Н7/р6

2.2.1. Обосновать расчетным путем выбор стандартной посадки с натягом (без дополнительного крепления шпонкой или шлицами) по наименьшему расчетному натягу, определяемому исходя из воспринимаемых соединением крутящего момента и осевой силы.

2.2.1.1. Исходные данные: крутящий момент Т=1000 Нм; осевая сила F_a=5000 H; вал сплошной d=70 мм; диаметр ступицы колеса d_ст=105 мм; длина ступицы =85 мм; материал вала сталь 45 с =340 Мпа; материал ступицы колеса сталь 40Х с =540 Мпа; сборка осуществляется нагревом охватываемой детали, то есть колеса.

2.2.1.2. Давление на поверхности контакта вала и ступицы, возникающие под влиянием натяга

,

где F_t, F_a -окружная и осевая силы в соединении;

d - номинальный диаметр соединения,

ℓ - длина ступицы,

f – коэффициент трения в соединении.

F_t = 28570 H;

F_a=5000H; d=70 мм; ℓ =85 мм; f=0,14. Тогда q =11,1 H/мм²

2.2.1.3. Расчетный наименьший натяг

[N_min]=q*d*()+5*(R_ad + R_aD),

где Е₁,Е₂ – модули упругости материала вала и ступицы;

С₁,С₂ – коэффициенты;

R_ad, R_aD – среднее арифметическое отклонение профиля поверхности вала и отверстия.

E₁=E₂=2,1*10⁵ МПа

C₁= - μ₁

C₂= + µ₂

где µ₁,µ₂-Пуассона материала вала и ступицы,

d₁-внутренний диаметр полого вала

µ₁=µ₂=0,3; d₁=0. Тогда C₁=0,7, C₂=2,9 наименьший натяг равен

[N_min]=11,1*70* +5*(0,8+1,6)*10^-3 = 0,0133+0,012=0,0253 мм

2.2.1.4. Выбираем стандартную посадку исходя из рекомендованного для натяга поля допуска вала Н7[ q_л ]. Для ø 70H7 из[ 1] ЕS=+30 мкм, ЕI=0 мкм.

N_min=ei - ES; ei= N_min + ES=25,3+30=55,3 мкм.

По таблице предельных отклонений валов в посадках с натягом и номинальным размером 70 мм ищем поле допуска с ei 55,3 мкм. Таким полем допуска является s6: es=+78 мкм и ei=+59 мкм.

N_min=ei-ES=59-30=29 мкм > 25,3 мкм,

N_max=es-EI=78-0=78 мкм

2.2.1.5. Допуски отверстия и вала

TD=ES-EI=30-0=30 мкм,

Td=es-ei=78-59=19 мкм.

2.2.1.6. Допуск посадки

TN=TD+Td=30+19=49 мкм.

 

2.2.1.7.Вероятное рассеивание натяга

TN_p= = =35,5 мкм

2.2.1.8. Средний натяг

N_m=

2.2.1.9. Наибольший и наименьший вероятные натяги

N_{p max}=N_m+0,5TN_p=53,5+0,5*35.5=71,25 мкм

N_{p min}=N_m-0,5TN_p=53,5-0,5*35.5=35,75 мкм

N_pmin [N_min]; 35,75 >29;

N_pmax [N_max];71,25< 78.

2.2.1.10.Схема расположения полей допусков.

 

 

2.2.1.11.График рассеивания натяга

 

*Значения указаны в мкм

 

2.2.2.Обосновать расчетным путем выбор стандартной посадки с натягом (без дополнительного крепления шпонкой или шлицами) по наибольшему допустимому натягу, исходя из условий прочности соединяемых деталей.

2.2.2.1.Исходные данные: крутящий момент Т=1000 Н·м; осевая сила F_a=5000 Н; вал сплошной d=70 мм; диаметр ступицы колеса d_ст=105 мм; длина ступицы l=85 мм; материал вала сталь 45 с σ_T=340 МПа; материал ступицы сталь 40х с σ_T=540 МПа; сборка осуществляется нагревом охватываемой детали, т.е. колеса.

2.2.2.2.Допустимое предельное давление на контактных поверхностях

[P_вала]=0,58*σ_T=0,58*340=197 МПа

[P_отв]= 0,58*σ_T * =0.58*540* =174Мпа

принимаем меньшее из допустимых давлений [P]=174 МПа

2.2.2.3.Наибольший допустимый натяг

[N_max]=[P]*d*()*

где Е_1, Е₂- модули упругости материалов вала и ступицы; С_1,С₂- коэффициенты; γ - коэффициент, учитывающий увеличение удельного давления у торцов ступицы.

Е₁=Е₂=2,1*10⁵ МПа;

=0,94;

С₁=1-µ₁ ; С₂= +µ₂

Где µ_1,µ₂- коэффициенты Пуассона материалов вала и ступицы.

µ₁=µ₂=0,3;

C₁=1-0,3=0,7;

C₂= =2,9;

[N_max]= 174*70* =0,196

2.2.2.4. По [N_max] по таблице [2] выбираем посадку H8/х8 с предельными натягами N_max=192 мкм N_min=100 мкм

2.2.2.5.Предельные отклонения отверстия и вала [1]

Ш70 H8:ES=+46 мкм, ЕI=0 мкм;

Ш70 х8:es=+192 мкм, ei=+146 мкм

2.2.2.6. Допуски размеров отверстия и вала

TD=ES-EI=46-0=46 мкм

Td=es-ei=192-146=46 мкм

2.2.2.7. Допуск посадки Н8/х8

TN=TD+Td=46+46=92 мкм

2.2.2.8. Вероятное рассеивание натяга

TN_p= = =65,05 мкм

2.2.2.9.Средний натяг.

N_m= =169 мкм

2.2.2.10. Наибольший и наименьший вероятные натяги.

N_{p max}=N_m+0,5*TN_p=169+0,5*65,05=201,52 мкм,

N_{p min}=N_m-0,5*TN_p=169-0,5*65,05=136,48 мкм.

N_{p max} [ N _max ]; 201,52<192

N_{p min} [ N _min ]; 136,48>146.

2.2.2.11 Схема расположения полей допусков

2.2.2.12 График рассеивания натяга (значения указаны в мкм)

 

 

 

2.5.Дано:один из подшипникового узла выходного вала редуктора имеет конический однородный роликоподшипник №7215, внутренним диаметром D=130 мм, ширина посадочного места на вал В=26 мм и в отверстии с=22 мм, радиусы закругления кольца r=2,5 мм и r₁=0,8 мм, коэффициент безопасности k_б=1,4, радиальная нагрузка F₂=10000 Н, осевая нагрузка F_а=2000 Н.

 

2.5.1.Обосновать по смыслу, а для циркуляционного нагруженного кольца и расчетным путем выбор посадок колец подшипников на вал и в корпус.

 

2.5.1.1.При вращающемся вале наружное кольцо подшипника испытывает местное нагружение и для него рекомендуется установка в корпус с небольшим зазором для обеспечения проворачиваемости и возможности осевого перемещения при регулировке осевого зазора и компенсации температурного расширения. В этом случае из рекомендуемых [2]полей Н7 и J_s7 выбираем поле Н7.

 

2.5.1.2. При вращающемся вале внутреннее кольцо подшипника испытывает циркуляционное нагружение и для него рекомендуется посадка с небольшим натягом, чтобы исключить развальновку и контактную коррозию посадочного места вала. Посадка выбирается по интенсивности нагрузки.

P

где F_r-радиальная нагрузка на опору, кН; k_б- коэффициент безопасности, в- рабочая ширина посадочного места, м.

в=В-2r,

где В- ширина посадочного места на вал, r- радиус фаски кольца.

При F_r=10кН, к_б=1,4, В=0,026 м, 2r=(2,5+0,8)*10^-3=0,0033 м

Получаем Р=616,7 кН/м. Такая интенсивность нагрузки позволяет нам выбрать посадку на вал κ6.

Посадка в корпус Н7 (рекомендация для подшипников класса 0[2]).

 

2.5.2. Схема расположения полей допусков сопрягаемых поверхностей подшипника на валу и в корпусе, крышки подшипника(значения допусков посадочных поверхностей колец подшипника по ГОСТ 520-71[1,2])

 

2.5.2.1. Схема для внутреннего кольца подшипника и вала ø 75L0/k6

2.5.2.2. Схема для наружного кольца подшипника и отверстия ø130H7/ l 0

2.5.2.3.Схема для крышки подшипника и отверстия в корпусе ø130H7/h6

 

 

2.7.Для вала, указанного в исходных данных, составить и рассчитать сборочную размерную цепь,полагая необходимую “осевую игру” вала замыкающим размером, а толщину набора прокладок – компенсирующим размером.

 

2.7.1.Эскиз вала в сборе

2.7.2.Исходным звеном, определяющим функционирование механизма является замыкающий размер осевой зазор А₀, рекомендуемый в интервале 0,2….0,5 мм. Принимаем А₀=0,3±0,1 мм. Суммарную толщину двух наборов прокладок принимаем в интервале к=4…5 мм. Этот размер является компенсирующим.

Номинальная величина компенсирующего звена

К=А₀-(),

Где А₀- осевой зазор; А_jув - размеры, увеличивающие размер исходного звена, кроме компенсирующих А₂ и А_4,(А₃); А_јум - размеры, уменьшающие размер исходного звена (А₁,А_5,А₆,А₇,….А₁₂); n- число увеличивающих размеров, кроме компенсирующих; Р - число уменьшающих размеров.

К=0,3-(340-30-26-26-60-73-55-18-26-30)=4,3 мм

 

2.7.3. Допуски на звенья размерной цепи: для конических подшипников №7215 ТА₆=ТА₁₂=300 мкм [1,2]; для остальных размеров цепи, кроме компенсирующих, назначаем поле допуска h12: ТА₅=ТА₁=250 мкм; ТА₇=ТА₁₁=210 мкм; ТА₃=570 мкм; ТА₈=ТА₉= ТА₁₀=300 мкм; осевой зазор, подлежащий компенсации ТА₀=200 мкм.

 

2.7.4.Допуск и предельные размеры компенсатора К:

ТК ТА_j-ТА₀=2*300+2*210+570+3*300-200=2790 мкм

=0,4-(340-(29,75+29,75+25,7+25,79+59,7+72,7+54,7+17,79+25,7))=1,98 мм

=0,2-(339,43-(30+30+26+26+60+73+55+18+26))=4,77 мм

 

2.7.5.Толщина и количество прокладок

из условия , где - суммарная толщина постоянных прокладок, принимаем

Этот размер разбиваем на две постоянные прокладки и

Число сменных прокладок

Толщина сменных прокладок

Проверка:

.