Рассказать об уравнениях Лапласа и Пуассона

Ответ.

Подставляя в уравнение:

выражающее теорему Гаусса в дифференциальной форме, вместо величин Е_x, Е_y и Е_z их выражения через потенциал:

Получаем выражение:

Это дифференциальное уравнение носит название уравнение Пуассона. Интеграл:

приведенный в предыдущем параграфе, является решением уравнения Пуассона в случае, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид:

л называется в этом частном случае уравнением Лапласа. Электростатическое поле удовлетворяет уравнению Лапласа.

Левые части уравнений Пуассона и Лапласа представляют собой расхождение градиента потенциала и могут быть записаны в форме, не зависящей от выбора системы координат:

divgradU= - r/e; divgradU=0;

Нередко можно встретить запись левой части этих уравнений с помощью симнолического оператора в виде ѲU. Действительно,

и, следовательно

Оператор Ѳ часто обозначают D и называют оператором Лапласа или лапласианом. Следовательно, уравнения Пуассона и Лапласа могут быть написаны также в виде

4) Задача.

Дано: U = 10sinwt, w = 1000c^-1.

Найти: i(wt) -?

№15.