Непрерывность показательной и логарифмической ф-ции

Теорема (для показательной ф-ции)

Показательная ф-ция y=a^x (при a>0) непрерывна на всей числовой оси, причем при a>1 (a<1) она возрастает (убывает) и мн-во ее значений представляет собой промежуток (0,+∞).

Док-во

1) В силу теоремы о непрерывности сложной ф-ции и того, что показательная ф-ция y=a^x непрерывна в точке 0 для ∀ вещественного числа x₀

2) Поэтому, , т.е. ф-ция y=a^x непрерывна на всей числовой прямой.

3) Покажем, что мн-во значений ф-ции y=a^x представляет собой промежуток (0,+∞).

4) Пусть, например, a>1.

5) Заметим, что если область определения непрерывной ф-ции f(x) представляет собой промежуток Р, то и мн-во ее значений f(P) – так же промежуток

6) Тогда в силу пункта 5) получим, что мн-во значений ф-ции y=a^x есть некоторый промежуток Р.

7) Поскольку , и a^x>0 (для ∀R-числа), то Р=(0,+∞). ↓

 

 

№44 Нахождение предела ф-ции

=

 

№45 то есть

Док-во: Пусть Тогда возьмем n= и получим n ≤ x < (n+1), значит , значит , значит .

Имеем = = = e. Аналогично = e*1=e По Т.о зажимающих . Теперь для сделаем подстановку t= -x, получим ч.т.д.

 

№46

№47

 

№48 Касательная к кривой как наиболее тесно прилегающая к ней прямая. Производное число функции в точке. Уравнение касательной к графику функции.

Опр. Касательной к данной непрерывной прямой в данной точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ММ’, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М’ неограниченно приближается по кривой к первой.

Уравнение касательной:

Y = f(x), M(x; y); M’(Δx; Δy)

MM’ –секущая; если нарисовать картинку, то видно, что угловой коэффициент секущей равен tgφ (φ - угол между секущей и осью Ox), и равен в свою очередь (Δy / Δx)- приращению функции разделить на приращение аргумента. Когда М стремится к М’, очевидно, что Δx→0, MM’→MT (касательная) tgφ→ tgα (α - уголь касательной и Ox), тогда угловой коэффициент касательной будет равен lim(Δx→0) Δy / Δx, а это производная в данной точке.

Теперь можно написать уравнение касательной. Y – y = k (X – x) (X;Y) – текущие координаты.

Общий вид у= f’(x) (X – x) + f(x).