Формула корней n-й степени из комплексного числа. Корни n-й степени из 1 и их расположение на плоскостиТЕОРЕМА 1. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргумента числа, умноженному на показатель степени, т. е. | ТЕОРЕМА 2. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть где . Тогда на основании этих двух теорем имеем Отсюда получаем =r, ( =0, Таким образом, Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня. Здесь в качестве числа достаточно брать лишь значения так как при всех прочих значениях получается повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем Из последней формулы следует, что корень степени из любого комплексного числа имеет точно n значений.
|