Студопедия — СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ






Часть свойств вероятности случайного события была указана нами в предыдущем параграфе. Здесь мы остановимся на некоторых других свойствах, важных для дальнейшего изложения.

1. Сложение вероятностей. Рассмотрим некоторые несовместные события Бй, А 2,».., Ak. Событие, заключающееся в осуществлении одного из них, мы будем называть их суммой и обозначать через Вероятность этой суммы определяется равенством

Это утверждение непосредственно может быть доказано при условии справедливости схемы равновозможных случаев [6]. Если эта схема неприменима, то равенство (1.3.1) недоказуемо и является аксиомой.

В качестве примера используем рассмотренное выше вытягивание, карты из колоды в 36 карт. Пусть событием Бй является вытягивание туза, событием А2 - вытягивание «картинки» (короля, дамы или валета), а событием Бй + Б г - вытягивание туза или «картинки». Путем подсчета числа равновозможных случаев легко убедиться в том, что равенство (1.3.1) имеет место.

При пользовании равенством (1.3.1) следует обратить внимание на несовместность рассматриваемых событий. Если это условие не выполняется, то равенство (1.3.1) оказывается несправедливым. Так, например, в рассмотренной выше задаче обозначим через Ах вытягивание туза,· Л2 - вытягивание бубновой масти, а через А, + А2 --вытягивание туза или бубновой масти. Легко убедиться в том, что

Несправедливость равенства (1.3.1) объясняется в данном случае "тем, что события Л, и А2 не являются несовместными, так как можно вытащить бубновый туз.

Пусть события А и Д взаимно дополнительны, т. е. несовместны, и их сумма представляет событие, вероятность которого равна единице. Тогда равенства (1.3.1) принимает вид

2. Произведение вероятностей. Вероятность одновременного осуществления событий А и В*) (т. е. так называемого произведения АВ этих событий) равна произведе нию вероятности Р(А) события А на вероятность Р(В/А) события В при условии, что событие А имело место, т. е.


Остановимся несколько подробнее на так называемой условной вероятности Р(В/А). Введение этого понятия предполагает, что осуществление события А меняет условия, при которых осуществляется событие В, так, что при этом изменяется его вероятность. В этбм случае говорят, что события А и В 'зависимы.

Рассмотрим в качестве примера вытаскивание шаров из урны, содержащей 2 белых и 2 черных шара. При этом вынутый шар в урну не возвращается. Требуется определить вероятность того, что в результате, двух вытаскиваний будут получены 2 белых шара. Это событие можно рассматривать как произведение двух следующих событий:.

А, при котором первый раз вынимается белый шар;

В - получение белого шара при втором вытаскивании.

Очевидно, что После осуществления собы-

тия А в урне остается 1 белый и 2 черных шара. Поэтому Отсюда, пользуясь равенством (1.3.3), находим Р(АВ) = 1/6.

Если вероятность события В не зависит от осуществления события А, эти события называются независимыми. Прц этом Р{В/А) = Р{В) и формула (1.3.3) принимает вид

Так, например, рассмотренную выше задачу можно решать в предположении, что вынутый первый раз шар возвращается в урну, которая встряхивается, и производится второе вытаскивание. При этом события А ж В становятся независимыми и их вероятности Отсюда, пользуясь формулой (1.3.4), находим

Формула (1.3.4) очень удобна и широко используется на практике. При этом часто забывают о необходимости достаточно аккуратного доказательства независимости рассматриваемых событий. Неучет реально существующих зависимостей между этими событиями может привести к грубым ошибкам. Так, в рассмотренном выше примере последовательного вытаскивания черных и белых шаров из урны (без возвращения их обратно) учет влияния осуществления события Л на вероятность события В сущёственным образом отражается на значений вероятности произведения А В этих событий (с учетом этого влияния Р(АВ) - 1/6, а без его учета Р(АВ) =* 1/4). В ряде прикладных задач неучет влияния реально существующих зависимостей между рассматриваемыми случайными событиями может изменить получаемое решение не только количественно, но и качественно. Так, при обработке измерительной информации предположение об отсутствии зависимости между вероятностями ошибок отдельных измерений приводит к выводу о том, что, неограниченно увеличивая число измерений, можно добиться сколь угодно высокой точности конечного результата обработки. Однако в действительности это невозможно из-за ^реально существующих - зависимостей между ошибками измерений (см. следующую главу). <·.







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 358. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия