РЕШЕНИЕ

1. Построение модели регрессии

1.1. Анализ исходных данных

Построим графики зависимостей x(t), y(t), y(x) (рис. 1-3):

 

Рис. 1 Рис. 2

 

 

Рис. 3

Выводы: Графический анализ исходных данных показывает, что для построения прогнозной модели может быть использована _______________ модель регрессии. ____________________________________________________

____________________________________________________________________

 

= a ₀ + a ₁ x.

1.2. Построение модели регрессии y(x):

В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) для определения коэффициентов регрессии a ₀ и a ₁ решим систему уравнений:

na ₀ + a ₁S x = S y

a ₀S x + a₁ S x ² = S xy

Для удобства вычислений параметров системы уравнений составим табл. 1.

Таблица 1

t	x	y	x×y	x 2
S

Исходя из табл. 1, система уравнений численными значениями параметров имеет вид:

_______ a ₀ + _______ a ₁ = _________

_______ a ₀ + _______ a ₁ = _________

 

Решим систему уравнений по правилу Крамера:

 

D₀ = = ________ – _________ = ________

D₁ = = ________ – _________ = ________

 

D₃ = = ________ – _________ = ________

a ₀ = ¾¾¾¾ = __________,

a ₁ = ¾¾¾¾ = __________.

Вывод: Модель регрессии с численными оценками коэффициентов имеет вид:

= ____________________ x

 

2. Анализ качества модели – анализ остатков

Определим остатки по формуле (cм. табл. 2):

e_i = y_i -

Таблица 2

t	xi	yi		ei = yi -	ei – ei- 1	(ei – ei- 1 ) 2	ei 2
S

2.1. Визуальный анализ остатков

Рис. 4

Вывод: Наличие выбросов в остатках ___________________________________, разброс остатков [_______; ______], что ___превышает 10% среднего y. ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Графический анализ остатков показывает, что гипотеза о случайности и независимости остатков ____ принимается.

2.2. Анализ по критерию "серий"

2.2.1. Проверка по числу серий:

S(n) > S₀(n), где

 

= =

_________ – __________ = __________» ______.

S(n) = _____ (см. график рис. 4).

S(n) ____ S₀(n).

Вывод: Число серий в нашем случае ___ удовлетворяет требованиям.

 

 

2.2.2. Проверка по максимальной длине серий:

l(n) < l₀(n), где

l₀(n) = 5 – по условию для n £ 26,

l(n) = _____ (см. график рис. 4)

 

Вывод: Максимальная длина серий ___удовлетворяет критерию.

Общий вывод: По критерию серий можно сделать вывод о том, что остатки ___ являются случайными и независимыми. ______________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

2.3. Анализ по критерию Дарбина-Уотсона – оценка на отсутствие автокорреля­ции в остатках:

Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона DW (промежуточные вычисления внесены в табл. 2):

= ¾¾¾¾ = __________» ______.

Коэффициент DW является критерием проверки гипотезы о наличии автокорреляции в остатках генеральной совокупности. Значения критерия DW затабулированы. По таблице Дарбина-Уотсона находим для заданного уровня значимости a = 0,05 и числа наблюдений n = _____ теоретические значения d_L = ______ и d_u = ______.

Для сравнения табличных и расчетных значений построим схему:

 

 

+ автокорр.? автокорр.отсутств.? - автокорр.

__________|___________|_______________|____________|___________|

0 d_L d_u 4 - d_u 4 – d_L 4

_____ _____ _____ _____

 

Рис. 5.

 

Вывод: Критерий Дарбина-Уотсона ___ подтверждает гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках. ____________________________________________

____________________________________________________________________.

Общие выводы: В целом, остатки ____ удовлетворяют основным требованиям регрессионного анализа. ______________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

3. Корреляционный анализ.

3.1. Визуальный анализ взаимосвязи показателей

Проведем визуальный анализ взаимосвя­зи показателей x и y на основе графика корреляционного поля (рис. 6).

На рисунке ____прослеживается определенная _____________ взаимо­связь в изменении значений y при изменении величин x в сторону увеличения. Форму взаимосвязи можно считать линейной.

Рис. 6.

Вывод: Визуальный анализ графика корреляционного поля показателей x и y показал, что взаимосвязь показателей наблюдается: с изменением одного показателя меняется другой, причем взаимосвязь _________: с увеличением показателя x наблюдается _______ показателя y. Форму взаимосвязи можно считать линейной.

3.2. Расчет коэффициента корреляции

Расчет коэффициента корреляции выполним по формуле:

 

.

 

Промежуточные вычисления отражены в табл. 3.

Таблица 3.

t	x	y	x×y	x 2	y 2
S
Среднее

 

Величина коэффициента корреляции равна:

= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ =

= ¾¾¾¾¾ = __________.

Вывод: Величина коэффициента корреляции r_xy = _______ свидетельствует о __________________________________ связи между показателями x и y. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

3.3. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции

Выполняем проверку статистической значимости коэффициента корреля­ции с помощью t -статистики:

= ¾¾ × ¾¾¾¾¾ = ________» ______.

 

t _табл. (a = 0,05; n-k -1 = __) = _____.

Сравним t _расч. и t _табл.: t _расч. ___ t _табл.

Вывод: Проверка статистической значимости коэффициента корреляции r_xy показывает, что коэффициент ___значимо отличен от нуля.

Общий вывод: Корреляционный анализ показал, что между показателями x и y имеется __________________________________ взаимосвязь. Однако следует отметить, что очевидное наличие во временных рядах x(t) и y(t) трендов (см. рис. 1, 2) ____________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

требуют проведения более строгого корреляционного анализа взаимосвязи показателей.

4. Проверка качества модели регрессии.

4.1. Анализ коэффициентов регрессии

4.1.1. Вычисление среднеквадратической ошибки коэффициентов регрессии.

 

,

где b₂₂ = n / D ₀ = ___ / __________ = ________ (см. п. 1.2);

= _________ (см. табл. 2).

 

= = ________.

 

Вывод: Среднеквадратическая ошибка коэффициента регрессии a ₁ равна _______.

 

4.1.2. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии.

Рассчитаем значение t -статистики t _расч и сравним с t _табл.

= ¾¾¾¾¾» ________.

 

= ________.

 

___

 

Вывод: Коэффициент модели регрессии статистически ___значим. Фактор x оказывает статистически ___значимое воздействие на изменение y. Его следует ______________ в модели.

4.1.3. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии

a ₁ – t _{табл .}× Sa ₁ £ α;₁ £ a ₁ + t _{табл .}× Sa ₁

 

_________ – _______________ £ α; ₁ £ _________ + _______________

________ £ α; ₁ £ _________

 

Вывод: Доверительный интервал для истинного коэффициента регрессии α;₁– [________; ________].

Общий вывод: Коэффициент регрессии a ₁статистически ______значим. Доверительный интервал для α;₁ – [________; ________].

 

4.2. Проверка адекватности модели – анализ качества модели в целом.

4.2.1. Определение коэффициента детерминации.

R ² = 1 – ,

 

где S e ²= _________ (см. табл. 2);

Для расчета S(y –` y)² составим табл. 4 (где первые 6 столбцов перенесены из табл. 2). Среднее значение показателя (см. табл. 4):

`y = S y = ________.

Таблица 4.

t	x	y		e = y –	e 2	y –	(y –` )2
S

R ² = 1 – ¾¾¾¾¾¾ = ____________» ________.

Вывод: На ____% вариация признака y (__________________________________

___________________________________________________________________)

объясняется влиянием фактора x (___________________________________).

 

4.2.2. Оценка статистической значимости R ²

Проверяем нулевую гипотезу о том, что коэффициент детерминации в генеральной совокупности равен нулю. Проверку гипотезы осуществляем с помощью F -критерия (критерия Фишера). Для k =1 – число факторов в модели:

 

F _расч. = = ¾¾¾¾¾¾ = ____________» ______.

 

F _табл .(a, n-k- 1, k) = t _табл.(0,05; __; __) = ______.

 

½ F _расч.½ ____ F _табл.(a, n-k- 1, k).

 

Вывод: Проверка статистической значимости коэффициента детерминации R ² показывает, что R ² ___значимо отличается от нуля. Нулевая гипотеза ___ отклоняется с заданным уровнем доверительной вероятности a = 0,05.

Общий вывод: Построенная для прогноза регрессионная модель ___ адекватна.

5. Экстраполяция по отношению к признаку x

5.1. Графический анализ

Визуальный анализ графика x(t) рис.1 ___дает основание для выбора линейной модели тренда:

x(t) = a ₀ + a ₁ t.

Вывод: На основе графического анализа можно выдвинуть гипотезы:

а) о наличии _________________ тенденции (____________ тренда),

б) линейности тренда.

Проверим гипотезы с использованием аналитических методов.

 

5.2. Аналитические критерии оценки временного ряда. Выбор модели тренда.

Проведем углубленный анализ данных временного ряда x(t).

5.2.1. Анализ данных на наличие тренда по критерию Кендела

Таблица 5

t	x(t)	p
S

Рассчитаем критерий Кендела для временного ряда x(t):

t = ,

где p = _____ (см. табл. 5), n = _____.

t = ¾¾¾¾¾ – 1 = ________.

 

Вывод: Коэффициент t = _____, значит, в соответ­ствии с критерием Кендела, __________________ тенденция ______выражена.

 

5.2.2. Проверка статистической значимости t

Проверим статистическую значимость t. Для этого найдем:

,

где z_кр = 1,96 для заданного уровня значимости a = 0,05.

Тогда:

= = __________» _______.

 

Сравнивая t с T_кр, получим: ½ t ½___ T_кр, следовательно, t статистически ____значим.

Вывод: t ___ T_{кр .} Þ t – статистически ___значим.

Общий вывод: Аналитический способ установления тренда во временном ряду x(t) с помощью критерия Кендела ___ подтвердил гипотезу о наличии тренда. ___________________ знак t свидетельствует о наличии __________________ тенденции. Таким, образом, временной ряд x(t) ___ имеет ____________ тренд.

5.3. Определение формы зависимости тренда (подтверждение гипотезы о линейности тренда)

Для проверки линейности тренда воспользуемся методом конечных разностей (табл. 6):

Таблица 6

x	Dх(1)	Dх(2)	Dх(3)
S

Вывод: Средняя арифметическая ________ конечных разностей близка к нулю. Метод конечных разностей __подтверждает линейность тренда. ___________________________________

____________________________________________________________________________________

Общий вывод: Аналитические критерии оценки временного ряда x (t) ___ подтверждают наличие в нем ____________ линейного тренда. Для последующего анализа продолжим использовать модель линейного тренда:

(t) = a ₀ + a ₁ t

 

5.4. Определение параметров тренда

Для определения параметров тренда a ₀ и a ₁ используем МНК, в соответствии с которым решим систему уравнений:

 

na ₀ + a ₁S t = Sx

a ₀S t + a ₁S t² = S tx.

Необходимые расчеты числовых значений коэффициентов системы линейных уравнений отражены в табл. 7.

_____ a ₀ + _____ a ₁ = ______ _____ a ₀ + _____ a ₁ = ______

_____ a ₀ + _____ a ₁ = ______ Þ _____ a ₀ + _____ a ₁ = ______ Þ

 

Þ ______ a ₁ = _______ Þ a ₁ = _______.

 

a ₀ = (__________ – __________) / ___ = ______ / ___ = _________.

Вывод: Таким образом, линейное уравнение тренда имеет вид:

 

(t) = ___________________ t

 

5.5. Проверка качества модели тренда

Проверим качество полученной модели на основе оценки средней относительной погрешности:

Промежуточные расчеты отражены в табл. 7.

Таблица 7

t	x	t2	t×x	(t)	x - (t)	½ x - (t) ½/ x
S

 

= ¾¾¾¾¾» ________.

 

Вывод: Относительная погрешность ______% ___________значительная. Модель ___адекватна.

Общий вывод: Линейное уравнение тренда имеет вид:

(t) = ______________________ t.

Качество модели __________удовлетворительное. Модель ___ может быть использована для прогноза.

5.6. Прогноз признака x – _________________________________ ( t = ____):

 

(t) = 1,1255 + 0,057 t = 1,1255 + 0,057×11 = 1,7525» 1,75.

Вывод: Ожидаемый _____________________________________ – ~ _________.

5.7. Прогноз фактора y – ______________________________________________

( t = ____).

Модель регрессии с численными коэффициентами имеет вид:

 

= ________________ x

 

Для прогнозируемого x = __________ получим:

 

= ________________________________ = _______» _________.

Вывод: ____________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

 

 

Общие выводы по результатам проведенного эконометрического анализа

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

6. Углубленный корреляционный анализ взаимосвязи показателей x и y.

 

Углубленный корреляционный анализ взаимосвязи показателей x и y необходимо провести в силу того, что:

1) корреляционный анализ разработан для оперирования со случайными выбор­ками, тогда как анализируемые показатели x и y представлены временными рядами, явно содержащими тренды (см. рис 1, 2);

2) __________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Проверим гипотезу о том, что вычисленный выше (см. п.3) коэффи­циент корреляции взаимосвязи показателей r_xy = _______ содержит ложную корреляцию, объясняемую влиянием показателя времени t, неучтен­ного явно в модели регрессии = _____________________ x.

Для исключения влияния фактора времени t при оценке взаимосвязи признаков x и y применим корреляционный анализ не к самим показателям x и y, а к их отклонениям от соответствующих трендов, т.е. к e_x = x(t) – (t) и e_y = y(t) – (t), с последующим распространением выводов на сами показатели. Расчет коэффициента корреляции r выполним по формуле:

 

.

 

7.1. Определение уравнений трендов

Уравнение тренда для показателя x(t) было получено выше (см. 5.4):

 

(t) = ________________ t.

 

Определим уравнение тренда для показателя y. Исходя из графика y(t) (см. рис.2) делаем предположение о линейности тренда:

 

= a₀ + a₁ t.

Используя метод наименьших квадратов, определим параметры тренда a₀, a₁, решая систему линейных уравнений:

 

na ₀ + a ₁S t = S y

a ₀S t + a ₁S t ² = S ty.

Необходимые расчеты отражены в табл. 8.

Таблица 8.

t	y	t2	t×y
S

Решая систему уравнений:

 

______ a ₀ +_______ a ₁ =________

______ a ₀ +_______ a ₁ =________,

 

определим параметры тренда: a ₀= _________, a ₁ = _________.

Таким образом, уравнение тренда для показателя y:

 

= _____________________ t.

 

7.2. Определение отклонений от трен­дов – остатков и расчет коэффициента корреляции в остатках

Найдем отклонения от трендов (табл. 9) и выполним необходимые дополнитель­ные вычисления для определения коэффициента корреляции в остатках (табл. 10).

Таблица 9.

t	x	y			ex = x -	ey = y -
S
Среднее

n	ex	ey	ex× ey	ex 2	ey 2
S
Среднее

Таблица 10.

Величина коэффициента корреляции равна:

 

= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ =

= ¾¾¾¾¾¾ = __________» ______.

 

Вывод: Величина коэффициента корреляции в остатках = ______ свиде­тельствует о _________________________ связи между отклонениями e_x, e_y фактиче­ских значений x и y от соответствующих трендовых значений и .

7.3. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции в остатках

Выполняем проверку статистической значимости коэффициента корреляции с помощью t -статистики:

= = ¾¾¾¾¾¾ = _________»

» ______.

t _табл. (a = 0,05; n-k- 1 = __) = _______

t _расч. ___ t _табл.

Вывод: Проверка статистической значимости коэффициента корреляции между откло­нениями e_x, e_y показывает, что коэффициент корреляции ___значимо отличен от нуля. Гипотеза о наличии ложной корреляции между x и y ________________.

Таким образом, Углубленный корреляционный анализ показывает, что взаимосвязь между откло­нениями e_x, e_y фактических значений x и y от соответствующих трендовых значений и ______________.

Общий вывод: Углубленный корреляционный анализ показывает, что взаимосвязь между откло­нениями e_x, e_y фактических значений x и y от соответствующих трендовых значений и ______________. Таким образом,

_________________ существенная линейная взаимосвязь анализируемого результирующего признака y с фактором x: = ______. Вычисленный ранее коэффициент корреляции r_xy = _______ отражает __________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Таким образом, полученная ранее модель регрессии = ______________x

____ может быть использована для целей прогнозирования. _________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Замечания:

 

Рекомендовано к изданию

Редакционно-издательским советом

Национального института бизнеса

 

 

©Национальный институт бизнеса 2009

©Москинова Г.И. 2009