В результате подстановки в систему дифференциальных уравнений и отбрасывания

нелинейных членов второго порядка малости преобразовывается модель в новую систему координат:

 

После подстановки получается следующая система:

Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

Уравнение имеет следующие корни:

В зависимости от знака дискриминанта особая точка может быть фокусом или узлом: при особая точка является фокусом или узлом: при неустойчивым узлом.

Для устойчивости особой точки необходимо, чтобы действительная часть корня была отрицательной, т. е. чтобы выполнялось следующее соотношение:

Переменные b1 и b2 являются границами интервала для параметра b, при попадании внутрь которого в экзосистеме образуется устойчивый фокус. Интервал устойчивости имеет границы:

.

При значениях параметров b меняется фазовый портрет от устойчивого фокуса до устойчивого предельного цикла.

2.2. Разработка архитектуры компьютерной модели и пользовательского интерфейса для управления моделью.

Фазовый портрет модели исследуется с помощью Симулинк-модели.

Программа для управления:

 

%SIM_LEVEVR_NIKOLIS построение фазовых портретов модели Лефевра-Николиса

% Выбор варианта задается управляющей переменной Vib

 

a = 1;

c=1;

d=1;

b1=c*(a/d)^2+d-2*a*sqrt(c/d); % первая граница b > b1 - фокус

b2=c*(a/d)^2+d; % вторая граница b < b2 - устойчивая

xs=a/d; % особая точка

if Vib==0 % устойчивый фокус: b1 < b < b2

b=1.5;

ys=(b*d)/(c*a);

xmin=0.5;

xmax=2.5;

ymin=0.7;

ymax=1.8;

elseif Vib==1 % предельный цикл: b > b2

b=3;

ys=(b*d)/(c*a);

xmin=0;

xmax=4;

ymin=0.5;

ymax=5;

end

 

xp=[0.1 0.3 0.5];

yp=[0.1 0.3 0.5];

hold on

for j=1:3

x0=xs+xp(j); y0=ys+yp(j);

opts=simset('InitialState',[x0 y0],'FixedStep',0.1,...

'Solver','ode4','MaxDataPoints',1000);

[t x]=sim('Lefevr_Nikolis',[],opts);

plot(x(:,1),x(:,2));

axis([xmin xmax ymin ymax]);

end

xu=a/d; yu=(b*d)/(c*a);

plot([xu xu],[ymin ymax],'k:',[xmin xmax],[yu yu],'k:');

axis([xmin xmax ymin ymax]);

xg=xmin:0.05:xmax;

yg=(b/c)./xg;

yg1=((b+d)*xg-a)./(c*xg.^2);

plot(xg,yg,'k:',xg,yg1,'k:');

axis([xmin xmax ymin ymax]);

%set(gca,'Ytick',[-1 -0.5 0 0.5 1]);

%set(gca,'Xtick',[-1 -0.5 0 0.5 1]);

xlabel('x','FontSize',16);

ylabel('y','FontSize',16);

hold off

 

return

 

 

Фазовый портрет:

Устойчивый фокус:

Заключение.

Исследовал модель Лефевра-Николиса в пакте Матлаб. С помощью программы привел в действие Симулинк-модель. При определенном интервальном значении меняется фазовый портрет, происходит бифуркация Хопса. В полном объеме видно изменение положения фигур на графике. Ознакомился с интервальными и нечеткими представлениями чисел, так же их вычислении.