Критерии, применяемые при оценке точности измерений. Средняя квадратическая ошибка. Средняя ошибка. Формула Гаусса, формула Бесселя. Абсолютные и относительные ошибки

Задача математической обработки результатов измерений состоит не только в том, чтобы отыскать наиболее надежное зна­чение измеряемой или искомой величин, но и в том, чтобы ска­зать, с какой точностью выполнены эти измерения, т.е. дать оценку точности указанных измерений. Для этого необходимо, во-первых, установить, на основании каких данных можно дать эту оценку и, во-вторых, какие способы или критерии для этого будут наилучшими.

Пусть имеется ряд равноточных измерений некоторой вели­чины X и известны истинные значения случайных погрешностей этих измерений

∆1, ∆2, ∆3, ……….,∆n

Каждая из погрешностей ряда определяет точность соответ­ствующего измерения. Но являясь величиной случайной, ни одна из них не может характеризовать точность всего ряда измерений, так как характеристика точности, если судить о.ней по погреш­ностям измерений, будет различной для отдельных измерений, хотя по условию все измерения в ряде равноточные. Следовательно, и характеристика их точности должна быть единой для всех отдель­ных измерений данного ряда. В качестве характеристики такой точности принято несколько критериев. Рассмотрим некоторые из них, а именно: среднее, вероятное и среднее квадратическое отклонение.

Сред няя ошибка(V). Среднее арифметическое из абсолютных зна­чений случайных ошибок называется средней ошибкой, т. е

Вероятной ошибкой (r) - называется такое значение случайной ошибки, по отношению к которому при данных условиях измерений погрешности меньше и больше этого значения по абсолютной величине встречаются одинаково часто. р( ׀ ∆;׀ <r)=р( ׀ ∆;׀ >r)

Из определения вероятного отклонения следует; что его зна­чение можно найти, если расположить. погрешности в ряд в по­рядке возрастания их абсолютных значений. Вероятное отклонение будет расположено в середине этого ряда.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:

Среднее квадратическое отклонение m есть корень квадратный из суммы квадратов абсо­лютных случайных погрешностей ∆, деленной на их число: m=√[∆²]/n, где:; n - количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Обычно средней квадратической ошибке оказывают предпочтение перед средней и вероятной по следующим причинам:

На величину средней квадратической ошибки в большей степени оказывают влияние крупные по абсолютным значениям ошибки.

Средняя квадратическая ошибка устойчива, т. е. она достаточно надежно определяется при небольшом числе n.

Надежность средней квадратической ошибки характеризуется средней квадратической ошибкой самой средней квадратической ошибки, полученной из эксперимента, которая определяется по формуле:

m_m=m/√2n

Среднюю квадратическую ошибку одного измерения m вычисляют через отклонения от арифметической середины по формуле Бесселя: m=√[V²]/(n-1), m_m=m/√2(n-1).

Абсолютные и относительные ошибки. Среднюю квадратическую, среднюю, вероятную, предельную ошибки называют абсолютными.

Отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеренной величины, выраженное дробью с числителем, равным единице, назы­вают относительной ошибкой. ∆_отн = m/l = 1/(l/m) где l – значение измеряемой величины

В зависимости от того, какая ошибка при этом используется, отно­сительная ошибка называется: средней квадратической относительной, средней относительной, вероятной относительной, предельной относи­тельной.

Пример: m = 0,11 м l = 212,43 м ∆отн = 0,11/212,43 = 1/2000

Знаменатель относительной ошибки целесообразно скруглять до целых десятков, если он выражается в сотнях, до сотен, если ой; выражается в тысячах, и т. д.