Ориентирование линий, истинный и магнитный азимуты, дирекционные углы, румбы, связь между ними

1.8.1. Ориентирование по географическому меридиану точки

Ориентировать линию - значит определить ее направление относительно другого направления, принятого за начальное. Направление определяется величиной ориентирного угла, то есть, угла между начальным направлением и направлением линии.

В геодезии за начальное направление принимают:

географический меридиан точки,

осевой меридиан зоны,

магнитный меридиан точки.

Географическим азимутом называется угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от северного направления географического меридиана точки до направления линии; он обозначается буквой A (рис.1.11). Пределы изменения географического азимута от 0⁰ до 360⁰.

Рис.1.11 Рис.1.12

Азимут прямой линии в разных ее точках имеет разные значения, так как меридианы на поверхности сферы непараллельны между собой. Проведем линию BC и меридианы в точках B и C (рис.1.12). Азимут этой линии в точке C отличается от азимута линии в точке B на величину сближения меридианов точек B и C:

(1.9)

В геодезии различают прямое и обратное направление линии. Например, в точке C линии BD прямое направление - направление CD, обратное направление - направление CB. Прямой и обратный азимут линии в одной точке различаются ровно на 180⁰, однако, для разных точек линии это равенство не выполняется. Пусть BC - прямое направление линии в ее начале (в точке B), ABC - азимут прямого направления; CB - обратное направление линии в ее конце (в точке C), ACB - азимут обратного направления, тогда

(1.10)

то есть, обратный азимут линии равен прямому азимуту плюс-минус 180⁰, плюс сближение меридианов точек начала и конца линии.

Различают восточное (положительное) и западное (отрицательное) сближение меридианов. Если конечная точка линии находится к востоку от начальной, то сближение меридианов будет восточным и положительным; если конечная точка линии лежит к западу от начальной, то сближение меридианов будет западным и отрицательным.

Формула сближения меридиана. На сфере наметим две точки A и B, лежащие на одной параллели, то есть, имеющие одинаковую широту (рис.1.13).

Рис.1.13

Проведем на поверхности сферы экватор и параллель точек A и B; в плоскости параллели проведем радиусы параллели FA = r и FB = r; угол между ними равен разности долгот точек.

Через точки A и B проведем полуденные линии AN и BN, которые, пересекаясь на продолжении оси вращения Земли, образуют угол γ, являющийся сближением меридианов точек A и B. Требуется выразить Рис.1.13 угол γ через координаты точек A и B, то есть, через широту φ и долготы λ_A и λ_B, причем Δλ = λ_B - λ_A.

Выразим длину дуги AB двумя способами: из ΔABN ~ AB = BN ∙ γ и из ΔABF ~ AB = r ∙ Δλ (углы γ и Δ λ выражены в радианах). Далее пишем:

BN∙γ=r∙ Δλ, (1.11)

откуда
. (1.12)

Радиус параллели выразим из Δ OFB r = R∙Cos(φ), а отрезок BN - из ΔONB BN = R ∙ Ctg(φ), где R - радиус сферы; тогда

γ = Δ λ ∙ Sin(φ)

или

(1.13)

В этой формуле размерность γ соответствует размерности λ.

Гауссово сближение меридианов. Частным случаем сближения меридианов является гауссово сближение меридианов, когда начальная точка A лежит на осевом меридиане зоны. Величина гауссова сближения меридианов, равного сближению меридиана точки и осевого меридиана зоны, является одной из характеристик положения точки внутри зоны. Формула гауссова сближения меридианов имеет вид

(1.14)

Буквами L и B здесь обозначены геодезические долгота и широта точки, буквой L₀ - долгота осевого меридиана зоны. В пределах зоны гауссово сближение меридианов не может превышать величины 3^o∙Sin(B).

1.8.2. Ориентирование по осевому меридиану зоны

Дирекционным углом линии называется угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от северного направления осевого меридиана зоны до направления линии; он обозначается буквой α (рис.1.14). Пределы изменения дирекционного угла от 0⁰ до 360⁰.

Рис.1.14

Рис.1.15

Поскольку направление осевого меридиана для зоны одно, то дирекционный угол прямой линии одинаков в разных ее точках, а обратный дирекционный угол прямой линии отличается от прямого ровно на 180o:

(1.15)

Связь географического азимута и дирекционного угла одной и той же прямой линии выражается формулой:

(1.16)

где γГ - гауссово сближение меридианов в точке начала линии.

Передача дирекционного угла на последующую сторону через угол поворота. Пусть имеются две линии BC и CD; угол поворота между ними в точке C равен β_л (левый угол поворота) или β_пр (правый угол поворота) - рис.1.15. Проведем через точки B и C направления, параллельные осевому меридиану зоны и покажем на рисунке дирекционные углы α_BC и α_CD. В задаче известны α_BC и β_л (или β_пр); требуется найти α_CD.

Продолжим линию BC и покажем на ее продолжении угол α_BC. Из рис.1.15 видно, что α_CD = αBC + x. Но x = β_л- 180^o или x = 180^o - β_пр, тогда:

, (1.17)
или
. (1.18)

Если при вычислении по двум последним формулам дирекционный угол получается отрицательным, к нему прибавляют 360⁰; если он получается больше 360⁰, то из него вычитают 360⁰.

1.8.3. Ориентирование по магнитному меридиану точки

Магнитным азимутом называется угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от северного направления магнитного меридиана точки до направления линии; он обозначается буквой AМ (рис.1.16). Пределы изменения магнитного азимута от 0⁰ до 360⁰.

Проведем через одну и ту же точку B географический меридиан N и магнитный меридиан NМ; угол между ними называется склонением магнитной стрелки и обозначается буквой δ. Если северный конец магнитной стрелки отклоняется к востоку от географического меридиана, то склонение считается восточным и положительным; если к западу, - то западным и отрицательным.

Направление BC характеризуется двумя ориентирными углами: географическим азимутом и магнитным азимутом; из рис.1.16 видно, что

(1.19)

Учитывая формулу связи географического азимута и дирекционного угла линии (1.11), можно написать:

(1.20)
и
, (1.21)

где П - поправка за склонение магнитной стрелки и сближение меридианов.

Рис.1.16

Назначение и устройство буссоли. Буссоль предназначена для ориентирования на местности по магнитному меридиану; она устроена примерно так же, как компас (рис.1.17). На острие, расположенном в центре градуированного кольца, вращается магнитная стрелка с передвижным хомутиком для ее уравновешивания. Кольцо буссоли разделено на 360 частей, цена одного деления 1o. Деления азимутальных буссолей возрастают от 0⁰ до 360⁰ либо по ходу, либо против хода часовой стрелки; деления румбической буссоли возрастают от 0⁰ до 90⁰ в обе стороны от нулевого диаметра.

Если деления азимутальной буссоли возрастают по ходу часовой стрелки, то совмещают северный конец стрелки с нулевым делением и по направлению линии отсчитывают магнитный азимут. Если деления возрастают против хода часовой стрелки, то нулевое деление располагают по направлению линии и против северного конца стрелки отсчитывают магнитный азимут.

1.8.4. Румбы линий

Кроме географического и магнитного азимутов и дирекционного угла к ориентирным углам относятся также румбы. Румб - это острый угол от ближайшего направления меридиана до направления линии; он обозначается буквой r. Пределы изменения румба от 0⁰ до 90⁰. Название румба зависит от названия меридиана: географический, магнитный и дирекционный (или осевой).

Для однозначного определения направления по значению румба он сопровождается названием четверти:

1 четверть - СВ (северо-восток),

2 четверть - ЮВ (юго-восток),

3 четверть - ЮЗ (юго-запад),

4 четверть - СЗ (северо-запад),

например, r = 30⁰ ЮВ.

Рис.1.18

Связь румба с соответствуюшим азимутом выявляется из рис.1.18.

1 четверть r = а; а = r;

2 четверть r = 180⁰ - а; а = 180⁰ – r;

3 четверть r = ф - 180⁰; а = 180⁰ + r; (1.22)

4 четверть r =360⁰ – а; а = 360⁰ – r.