Случайные погрешности и их свойства. Средняя квадратическая погрешность

Теоретические исследования и опыт измерений показывают, что случайные погрешности обладают следующими основными свойствами:

- при определенных условиях измерений, случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;

- малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще, чем большие.

- положительные погрешности встречаются так же часто, как и отрицательные;

- среднее арифметическое из всех случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений n стремится к нулю, т.е.

, (5.2)

где [ ] – обозначение суммы.

Формула (5.2) выражает свойство компенсации случайных погрешностей. Этим свойством обладает и сумма попарных произведений случайных погрешностей

, (i, j = 1, 2, 3... n; i ¹ j). (5.3)

Формула Гаусса предполагает точное значение измеряемой величины.

Так как величины всегда измеряют несколько раз, то всегда можно найти арифметическую средину:

Можно также получить величины уклонений каждого измеренного значения от Х0, т.е получить ряд равенств:

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1), получим:

В левых частях уравнений стоят истинные ошибки арифметической средины. Заменим их СКО арифметической средины:

Возведем в квадрат и просуммируем:

Разделим обе части на n:

Формула Бесселя: