Задание. 1. Национальная экономика Беларуси: потенциалы
Периодические сигналы и их спектры. Задание. По данному периодическому сигналу S(t)=S(t+T): Ø нарисовать в масштабе форму заданного сигнала; Ø записать аналитическое выражение сигнала; Ø вычислить частоту повторения импульсов; Ø рассчитать комплексные коэффициенты ряда Фурье; Ø построить в масштабе амплитудный и фазовый спектры сигнала для значений f ≥ 0 (не менее 10 гармоник); Ø вычислить среднюю за период Т мощность сигнала в сопротивлении R=1 Ом; Ø вычислить среднюю мощность первых четырех спектральных составляющих сигнала; Ø нарисовать на одном графике в масштабе временные диаграммы первых трех спектральных составляющих. Выполнение задания: , мкс; , мкс; , В; , В;
График заданного периодического сигнала изображен на рисунке 1.1
Рисунок 1.1.-График заданного периодического сигнала
Необходимо задать аналитическое выражение сигнала S(t):
Используем функцию Хэвисайда: «Включая» и «выключая» функцию Хэвисайда в моменты времени получим:
, В – аналитическое выражение сигнала.
Циклическая частота повторений импульсов равна: (Гц) = 6 (кГц)
Комплексные коэффициенты ряда Фурье:
Найдём коэффициенты на основе связи ряда Фурье с преобразованием Фурье и свойств преобразования Фурье. Если , то , где - круговая частота повторения, . , где (t) – функция Дирака (дельта-функция):
Тогда коэффициенты равны: Таким образом, сигнал s(t) представлен своим рядом Фурье:
Амплитудный и фазовый спектры сигнала для значений . Используя формулу (1) построим Амплитудный и фазовый спектры сигнала s(t). φк=Arg() Найдем постоянную составляющую :
Графики амплитудного и фазового спектров изображены на рисунках 1.2,1.3 соответственно. Рисунок 1.2.-Амплитудный спектр сигнала
Рисунок 1.3.-Фазовый спектр сигнала
Средняя за период мощность сигнала в сопротивлении R=1 Ом равна:
Пусть , тогда = Вт. Средняя мощность первых трех спектральных составляющих: Используем формулу: . Так как нам нужна средняя мощность первых трёх спектральных составляющих, то максимальное значение k=3. Временные диаграммы первых трёх спектральных составляющих(постоянной составляющей, первой и второй гармоник).
Ряд Фурье в тригонометрической форме для сигнала s(t) имеет вид:
Так как нам нужны временные диаграммы первых трех спектральных составляющих, то максимальное значение k=2. Причем .
= Временные диаграммы трех спектральных составляющих изображены на рисунке 1.4
Рисунок 1.4.-Временные диаграммы трех спектральных составляющих
|