Решение. Общая схема исследования функций:

 

Общая схема исследования функций:

 

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

5. Найти наклонные асимптоты графика функции.

6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

 

1. Функция не определена, если

Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

1. Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат
2. 

Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем промежутки знакопостоянства функции

5. Найдем наклонные асимптоты где

Для k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.

 

 

Составим таблицу

 

		-2
	+		+	не существует	-		+
				не существует
	возрастает		возрастает		убывает	min	возрастает

 

Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

 

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .

 

Найдем точки перегиба

 

Составим таблицу

 

		-2
	-		+	не существует	+
				не существует

 

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

 

 

 

Замечание:При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.