Теория нелинейной теплопроводности

Уравнение теплопроводности, учитывающее зависимость свойств среды от температуры и нелинейную зависимость от температуры мощности распределенных в объеме тепловых источников, является квазилинейным параболическим уравнением вида (1.1)

Нелинейность задачи теплопроводности может быть также обусловлена нелинейностью граничного условия. Такие задачи, в отличие от задач с внутренней нелинейностью, обусловленной нелинейностью уравнения, часто называют задачами с внешней нелинейностью.

Нелинейное граничное условие на поверхности тела может иметь вид (1.2), где функция в нелинейным образом зависит от температуры.

К таким условиям, например, относится условие на поверхности излучающего тела или условие конвективного теплообмена, в котором коэффициент теплообмена ат зависит от температуры поверхности тела.

Задача теплопроводности становится нелинейной, если учитывать фазовые переходы в среде, такие, как плавление, испарение, конденсация, кристаллизация, происходящие при определенной температуре и сопровождающиеся выделением или поглощением теплоты.

В среде с фазовым переходом появляется поверхность ∑ раздела фаз, которую называют фронтом фазового перехода. Эта поверхность перемещается с конечной скоростью. Баланс тепловой энергии на фронте фазового перехода с температурой u* позволяет записать на движущейся поверхности ∑ фронта кроме условия

u1(P)=u2(P)=u*(1.3) другое граничное условие:

(1.4)

где k1, k2 и и1, u2 - коэффициенты теплопроводности и температуры двух соприкасающихся фаз соответственно; q* - удельная массовая теплота фазового перехода; V - мгновенная скорость перемещения фронта фазового перехода в направлении нормали поверхности∑;.

Так как скорость перемещения фронта V заранее не известна и должна быть найдена в процессе решения задачи теплопроводности, то граничное условие (1.4), называемое условием Стефана, делает задачу нелинейной.

Возможен и другой подход к моделированию процесса фазового перехода без явного выделения фронта фазового перехода при постановке задачи. Этот подход связан с переходом в класс обобщенных функций. Действительно, теплоту фазового перехода, выделяющуюся на фронте, можно учесть, считая внутреннюю энергию среды разрывной функцией температуры и вводя сосредоточенную теплоемкость среды.

При этом внутренняя энергия единицы объема среды е, как функция температуры, при u = u* скачком изменяется на величину теплоты фазового перехода, т.е.

(1.5)

Здесь = р(u) с(u) - теплоемкость единицы объема среды;

Q*=pq*;

импульсная функция Хевисайда, производная которой есть дельта-функция

.