Глава 1. Случайные события. Вычисление вероятностиЕсли n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей). Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций: а) б) при больших верно . Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли). Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества. Решение. По условию , откуда По таблицам найдем . Искомая вероятность равна: Пример. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий: В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий; С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20 Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью . Находим . Можно применять формулы Лапласа: Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20. Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане? Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. . Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа. В нашем случае: – неизвестно, , , . Тогда Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.
Глава 1. Случайные события. Вычисление вероятности 1. 1.1. Элементы комбинаторики 2. 1.2. Классическое определение вероятности 3. 1.3. Геометрическое определение вероятности 4. 1.4. Сложение и умножение вероятностей 5. 1.5. Условная вероятность 6. 1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса 7. 1.7. Независимые испытания. Формула Бернулли 8. 1.8. Наивероятнейшее число успехов 9. 1.9. Формула Пуассона 10. 1.10. Теоремы Муавра-Лапласа
|